giải chi tiết các câu này giúp mình nhé

Câu 20: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = f^\prime(x) \). 1. Xác định các điểm mà \( f^\prime(x) = 0 \): - Dựa vào đồ thị, ta thấy \( f^\prime(x) = 0 \) tại ba điểm: \( x = -1 \), \( x = 0 \), và \( x = 1 \). 2. Xét dấu của \( f^\prime(x) \) để xác định cực trị của \( f(x) \): - Khoảng \((-∞, -1)\): \( f^\prime(x) > 0 \) (đồ thị nằm trên trục hoành). - Khoảng \((-1, 0)\): \( f^\prime(x) < 0 \) (đồ thị nằm dưới trục hoành). - Khoảng \((0, 1)\): \( f^\prime(x) > 0 \) (đồ thị nằm trên trục hoành). - Khoảng \((1, ∞)\): \( f^\prime(x) < 0 \) (đồ thị nằm dưới trục hoành). 3. Xác định các điểm cực trị của \( f(x) \): - Tại \( x = -1 \): \( f^\prime(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 0 \): \( f^\prime(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): \( f^\prime(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x = 1 \) là điểm cực đại. 4. Kết luận: - Hàm số \( f(x) \) có 3 điểm cực trị: 2 cực đại tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \), 1 cực tiểu tại \( x = 0 \). Do đó, nhận xét đúng là: D. Hàm số \( f(x) \) có 3 cực trị. Câu 21: Để giải quyết các câu hỏi dựa trên bảng xét dấu đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \), ta cần phân tích từng khoảng mà đạo hàm \( y' \) có dấu cụ thể: 1. Khoảng \((-∞, 0)\): - \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến trên khoảng này. 2. Khoảng \((0, 1)\): - \( y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. 3. Khoảng \((1, 2)\): - \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến trên khoảng này. 4. Khoảng \((2, +∞)\): - \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Dựa vào phân tích trên, ta có thể trả lời các câu hỏi như sau: a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞, 1)\): Sai. Hàm số đồng biến trên \((-∞, 0)\) và \((1, 2)\), không phải trên \((-∞, 1)\). b) Hàm số đồng biến trên khoảng \((1, +∞)\): Đúng. Vì \( y' > 0 \) trên \((1, 2)\) và \((2, +∞)\). c) Hàm số đạt cực đại tại \( x = 2 \): Sai. Tại \( x = 2 \), \( y' \) đổi dấu từ dương sang dương, không có cực đại. d) Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu: - Điểm cực tiểu tại \( x = 0 \) vì \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm. - Điểm cực đại tại \( x = 1 \) vì \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương. - Không có điểm cực tiểu thứ hai tại \( x = 2 \) vì \( y' \) không đổi dấu từ dương sang âm. Kết luận: Câu d) là sai. Hàm số có một điểm cực đại tại \( x = 1 \) và một điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). Câu 22: a) Tập xác định của hàm số là R. Giải thích: Hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) là một đa thức, do đó tập xác định của nó là toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). b) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0;2) \). Giải thích: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Xét dấu của \( y' \): \[ y' = 3x(x - 2) \] Ta thấy: - \( y' > 0 \) khi \( x < 0 \) hoặc \( x > 2 \) - \( y' < 0 \) khi \( 0 < x < 2 \) Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; 0) \) và \( (2; +\infty) \), và nghịch biến trên khoảng \( (0; 2) \). c) Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( 2x + y - 4 = 0 \). Giải thích: Để tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, ta cần tìm tọa độ các điểm cực trị. Tìm đạo hàm bậc hai để xác định các điểm cực trị: \[ y'' = 6x - 6 \] Xét dấu của \( y'' \): - \( y'' = 0 \) khi \( x = 1 \) Thay \( x = 1 \) vào hàm số ban đầu để tìm \( y \): \[ y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 \] Vậy điểm cực trị là \( (1, 2) \). Tìm đạo hàm bậc nhất để xác định các điểm cực trị khác: \[ y' = 3x^2 - 6x \] \[ y' = 0 \] khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 2 \) Thay \( x = 0 \) và \( x = 2 \) vào hàm số ban đầu: \[ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \] \[ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] Vậy các điểm cực trị là \( (0, 4) \) và \( (2, 0) \). Phương trình đường thẳng qua hai điểm \( (0, 4) \) và \( (2, 0) \): \[ \text{slope} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = -2 \] Phương trình đường thẳng: \[ y - 4 = -2(x - 0) \] \[ y = -2x + 4 \] \[ 2x + y - 4 = 0 \] d) Diện tích của tam giác OAB bằng 4, với O là gốc tọa độ. Giải thích: Tọa độ các điểm A, B và O: - \( A(0, 4) \) - \( B(2, 0) \) - \( O(0, 0) \) Diện tích của tam giác OAB: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \] \[ S = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \] Vậy diện tích của tam giác OAB bằng 4. Câu 23: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng phần của các khẳng định đã cho. a) Tập xác định của hàm số Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \). Để tìm tập xác định, ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho mẫu số khác 0. Mẫu số là \( x + 1 \), do đó điều kiện xác định là \( x + 1 \neq 0 \), tức là \( x \neq -1 \). Vậy tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \). Khẳng định a) sai. b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) Để kiểm tra tính đơn điệu của hàm số, ta cần tính đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 2) \cdot 1}{(x + 1)^2} \] Tính toán tử số: \[ (2x + 2)(x + 1) = 2x^2 + 2x + 2x + 2 = 2x^2 + 4x + 2 \] \[ (x^2 + 2x + 2) = x^2 + 2x + 2 \] Do đó: \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 2 - (x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] Xét dấu của \( y' \) trên khoảng \((-2;0)\): - Trên khoảng \((-2;0)\), \( x(x + 2) < 0 \) vì \( x \in (-2, 0) \). - Mẫu số \((x + 1)^2 > 0\) với mọi \( x \neq -1 \). Do đó, \( y' < 0 \) trên khoảng \((-2;0)\), hàm số nghịch biến trên khoảng này. Khẳng định b) đúng. c) Tọa độ điểm \( A(-2;-2) \), \( B(0;2) \) Điểm cực trị của hàm số xảy ra khi \( y' = 0 \). \[ \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \] Giải phương trình: - \( x = 0 \) hoặc \( x = -2 \). Tính giá trị hàm số tại các điểm này: - \( x = 0 \), \( y = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 + 2}{0 + 1} = 2 \). Vậy \( B(0, 2) \). - \( x = -2 \), \( y = \frac{(-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 2}{-2 + 1} = \frac{4 - 4 + 2}{-1} = -2 \). Vậy \( A(-2, -2) \). Khẳng định c) đúng. d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là \( AB = 2\sqrt{5} \) Tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(-2, -2) \) và \( B(0, 2) \): \[ AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Khẳng định d) đúng. Tóm lại, các khẳng định b), c), và d) là đúng, còn khẳng định a) là sai. Câu 24: a) Ta có: \[ v(t) = x'(t) = 3t^2 - 6t + 9 \] b) Ta có: \[ a(t) = v'(t) = 6t - 12 \] c) Xét dấu của đạo hàm \( a(t) \): \[ a(t) > 0 \Leftrightarrow 6t - 12 > 0 \Leftrightarrow t > 2 \] Do đó, vận tốc của chất điểm tăng khi \( t \in (2; +\infty) \). d) Xét dấu của đạo hàm \( a(t) \): \[ a(t) < 0 \Leftrightarrow 6t - 12 < 0 \Leftrightarrow t < 2 \] Do đó, vận tốc của chất điểm giảm khi \( t \in (0; 2) \). Câu 25: Tập xác định: \( D=\mathbb{R} \) Ta có \( y'= -x^2 + x + 2 \) \( y' = 0 \Leftrightarrow -x^2 + x + 2 = 0 \) \( \Leftrightarrow x = 2 \) hoặc \( x = -1 \) Bảng biến thiên: | \( x \) | \( -\infty \) | -1 | 2 | \( +\infty \) | |---------|----------------|----|---|----------------| | \( y' \) | - | 0 | + | - | | \( y \) | \( -\infty \) | | | \( -\infty \) | Hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \), giá trị cực đại \( y_{CD} = \frac{19}{6} \). Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \), giá trị cực tiểu \( y_{CT} = -\frac{2}{3} \). Do đó \( P = 4y_{CT} + 4y_{CD} = 4 \left( -\frac{2}{3} \right) + 4 \left( \frac{19}{6} \right) = 10 \).