Giải hộ mình câu này với các bạn

Để giải phương trình vi phân \( y'' - 3y' + 2y = e^{2x} \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng Phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là: \[ y'' - 3y' + 2y = 0 \] Ta giả sử nghiệm có dạng \( y = e^{rx} \). Thay vào phương trình thuần nhất, ta có: \[ r^2 e^{rx} - 3r e^{rx} + 2e^{rx} = 0 \] \[ e^{rx}(r^2 - 3r + 2) = 0 \] Do \( e^{rx} \neq 0 \), nên: \[ r^2 - 3r + 2 = 0 \] Giải phương trình đặc trưng này: \[ r^2 - 3r + 2 = 0 \] \[ (r-1)(r-2) = 0 \] \[ r = 1 \quad \text{hoặc} \quad r = 2 \] Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất là: \[ y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} \] Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất Phương trình vi phân không thuần nhất là: \[ y'' - 3y' + 2y = e^{2x} \] Do vế phải là \( e^{2x} \), và \( e^{2x} \) đã xuất hiện trong nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, ta chọn nghiệm riêng dưới dạng: \[ y_p = A x e^{2x} \] Tính các đạo hàm: \[ y_p' = A (2x e^{2x} + e^{2x}) = A e^{2x} (2x + 1) \] \[ y_p'' = A (4x e^{2x} + 4 e^{2x}) = A e^{2x} (4x + 4) \] Thay \( y_p \), \( y_p' \), và \( y_p'' \) vào phương trình vi phân: \[ A e^{2x} (4x + 4) - 3A e^{2x} (2x + 1) + 2A x e^{2x} = e^{2x} \] Rút gọn: \[ A e^{2x} (4x + 4 - 6x - 3 + 2x) = e^{2x} \] \[ A e^{2x} (1) = e^{2x} \] \[ A = 1 \] Vậy nghiệm riêng là: \[ y_p = x e^{2x} \] Bước 3: Kết hợp nghiệm tổng quát và nghiệm riêng Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ban đầu là: \[ y = y_h + y_p \] \[ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + x e^{2x} \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + x e^{2x}} \]