trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết tọa độ các đỉnh A(0; 2; 6), C(4; 2; 0), B(-2;1;1) D'(3; 5; 4). Tìm tọa độ điểm I là tâm của hình hộp

Để tìm tọa độ điểm \( I \) là tâm của hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \), ta cần xác định tọa độ của tất cả các đỉnh của hình hộp và sau đó tính trung điểm của đoạn nối hai đỉnh đối diện nhau. Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh còn lại 1. Tìm tọa độ điểm \( D \): Ta biết rằng \( A, B, C, D \) là các đỉnh của một hình bình hành. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] Từ đó, ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] Tính các vector: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 0; 1 - 2; 1 - 6) = (-2; -1; -5) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (4 - 0; 2 - 2; 0 - 6) = (4; 0; -6) \] Suy ra: \[ \overrightarrow{AD} = (4; 0; -6) - (-2; -1; -5) = (4 + 2; 0 + 1; -6 + 5) = (6; 1; -1) \] Vậy tọa độ điểm \( D \) là: \[ D = A + \overrightarrow{AD} = (0 + 6; 2 + 1; 6 - 1) = (6; 3; 5) \] 2. Tìm tọa độ điểm \( A' \): \( A' \) là điểm đối diện với \( A \) qua tâm của hình hộp, do đó: \[ A' = D' + \overrightarrow{AD} = (3; 5; 4) + (6; 1; -1) = (9; 6; 3) \] 3. Tìm tọa độ điểm \( B' \): \( B' \) là điểm đối diện với \( B \) qua tâm của hình hộp, do đó: \[ B' = D' + \overrightarrow{AB} = (3; 5; 4) + (-2; -1; -5) = (1; 4; -1) \] 4. Tìm tọa độ điểm \( C' \): \( C' \) là điểm đối diện với \( C \) qua tâm của hình hộp, do đó: \[ C' = D' + \overrightarrow{AC} = (3; 5; 4) + (4; 0; -6) = (7; 5; -2) \] Bước 2: Tính tọa độ điểm \( I \) Tọa độ điểm \( I \) là trung điểm của đoạn nối hai đỉnh đối diện nhau, ví dụ \( A \) và \( A' \): \[ I = \left( \frac{0 + 9}{2}, \frac{2 + 6}{2}, \frac{6 + 3}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, 4, \frac{9}{2} \right) \] Vậy tọa độ điểm \( I \) là \( \left( \frac{9}{2}, 4, \frac{9}{2} \right) \).