giúp mik vd

Câu 1: Để tìm vectơ nào bằng với \(\overrightarrow{AB}\), ta cần xem xét các vectơ trong hình lập phương và so sánh chúng với \(\overrightarrow{AB}\). 1. Vectơ \(\overrightarrow{AB}\): Đây là vectơ từ điểm \(A\) đến điểm \(B\), có độ dài bằng cạnh của hình lập phương, tức là \(a\), và hướng từ \(A\) đến \(B\). 2. Vectơ \(\overrightarrow{D^\prime C^\prime}\): Đây là vectơ từ \(D^\prime\) đến \(C^\prime\). Trong hình lập phương, \(D^\prime C^\prime\) song song và bằng với \(AB\), có cùng độ dài và hướng tương tự. Do đó, \(\overrightarrow{D^\prime C^\prime} = \overrightarrow{AB}\). 3. Vectơ \(\overrightarrow{AD}\): Đây là vectơ từ \(A\) đến \(D\). Mặc dù có độ dài bằng \(a\), nhưng hướng của nó khác với \(\overrightarrow{AB}\). 4. Vectơ \(\overrightarrow{CD}\): Đây là vectơ từ \(C\) đến \(D\). Nó song song với \(\overrightarrow{AB}\) nhưng ngược hướng, nên không bằng \(\overrightarrow{AB}\). 5. Vectơ \(\overrightarrow{AA^\prime}\): Đây là vectơ từ \(A\) đến \(A^\prime\), có độ dài bằng \(a\) nhưng hướng khác với \(\overrightarrow{AB}\). Kết luận: Vectơ \(\overrightarrow{D^\prime C^\prime}\) bằng với \(\overrightarrow{AB}\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~\overrightarrow{D^\prime C^\prime}\). Câu 2: Để tìm \(\overrightarrow{AM}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] 2. Xác định \(\overrightarrow{CC'}\): \[ \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AA'} \] 3. Tìm \(\overrightarrow{CM}\): Vì \(M\) là trung điểm của \(CC'\), ta có: \[ \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CC'} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AA'} \] 4. Tìm \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA'} \] \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA'} \] Vậy đẳng thức đúng là: \[ C.~\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA'} \] Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm - Gọi \(O\) là gốc tọa độ: \(O(0, 0, 0)\). - \(A(a, 0, 0)\), \(B(0, a, 0)\), \(C(0, 0, a)\) do \(OA = OB = OC = a\) và đôi một vuông góc. Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(M\) \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên tọa độ của \(M\) là: \[ M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \] Bước 3: Tìm tọa độ các vectơ - \(\overrightarrow{OM} = \left(0 - 0, \frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\) - \(\overrightarrow{AC} = (0 - a, 0 - 0, a - 0) = (-a, 0, a)\) Bước 4: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC}\) \[ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \cdot (-a) + \frac{a}{2} \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot a = 0 + 0 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2} \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là \(\frac{a^2}{2}\). Đáp án đúng là C. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định một cách cẩn thận bằng cách sử dụng các phép toán vector cơ bản. Khẳng định A: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BC}\). - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\). Ta thấy rằng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\) không nhất thiết bằng \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\) trong mọi trường hợp. Do đó, khẳng định A là sai. Khẳng định B: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\). - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\). Ta thấy rằng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\) không nhất thiết bằng \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\) trong mọi trường hợp. Do đó, khẳng định B là sai. Khẳng định C: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\). - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\). Ta thấy rằng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\) không nhất thiết bằng \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\) trong mọi trường hợp. Do đó, khẳng định C là sai. Khẳng định D: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\). - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\). Ta có thể chứng minh khẳng định này bằng cách sử dụng định nghĩa của vector: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \] Do đó, khẳng định D là đúng. Vậy, khẳng định đúng là khẳng định D: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\). Câu 5: Để giải quyết bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \theta \] trong đó \(\theta\) là góc giữa hai vectơ. Theo đề bài, ta có: - \( |\overrightarrow{a}| = 2 \) - \( |\overrightarrow{b}| = 3 \) - Góc giữa hai vectơ là \(120^\circ\), do đó \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\). Thay các giá trị này vào công thức, ta được: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ = 2 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3 \] Vậy khẳng định đúng là \(D.~\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -3\). Câu 6: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OA}\), ta cần xác định tọa độ của điểm \(A\) và điểm gốc \(O(0;0;0)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OA}\) được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm \(A\) trừ đi tọa độ của điểm \(O\). Cụ thể: \[ \overrightarrow{OA} = (x_A - x_O, y_A - y_O, z_A - z_O) \] Với \(A(1;2;3)\) và \(O(0;0;0)\), ta có: \[ \overrightarrow{OA} = (1 - 0, 2 - 0, 3 - 0) = (1, 2, 3) \] Do đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OA}\) là \((1, 2, 3)\). Vậy đáp án đúng là \(D.~(1;2;3)\).