giúp mình với

Câu 7: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác có ba đỉnh \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), \( C(x_3, y_3, z_3) \) là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Áp dụng công thức trên cho các điểm \( A(1, 3, 5) \), \( B(2, 0, 1) \), \( C(0, 9, 0) \): 1. Tính tọa độ \( x \) của trọng tâm \( G \): \[ x_G = \frac{1 + 2 + 0}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] 2. Tính tọa độ \( y \) của trọng tâm \( G \): \[ y_G = \frac{3 + 0 + 9}{3} = \frac{12}{3} = 4 \] 3. Tính tọa độ \( z \) của trọng tâm \( G \): \[ z_G = \frac{5 + 1 + 0}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là \( G(1, 4, 2) \). Do đó, đáp án đúng là \( \boxed{D.~G(1;4;2)} \). Câu 8: Để tìm tọa độ điểm D của hình bình hành ABCD, ta sử dụng tính chất của hình bình hành: Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Trước tiên, ta cần tìm tọa độ trung điểm của hai đường chéo AC và BD. 1. Tính trung điểm M của đường chéo AC: Tọa độ điểm A là \((-1; 0; 3)\) và tọa độ điểm C là \((3; 2; 2)\). Trung điểm M của AC có tọa độ: \[ M\left(\frac{-1 + 3}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{3 + 2}{2}\right) = M(1; 1; 2.5) \] 2. Giả sử D có tọa độ \((x; y; z)\), tính trung điểm N của đường chéo BD: Tọa độ điểm B là \((2; 1; -1)\). Trung điểm N của BD có tọa độ: \[ N\left(\frac{2 + x}{2}; \frac{1 + y}{2}; \frac{-1 + z}{2}\right) \] 3. Do M và N là trung điểm của hai đường chéo, nên M trùng với N: \[ \begin{cases} \frac{2 + x}{2} = 1 \\ \frac{1 + y}{2} = 1 \\ \frac{-1 + z}{2} = 2.5 \end{cases} \] 4. Giải hệ phương trình trên: - Từ phương trình thứ nhất: \[ \frac{2 + x}{2} = 1 \Rightarrow 2 + x = 2 \Rightarrow x = 0 \] - Từ phương trình thứ hai: \[ \frac{1 + y}{2} = 1 \Rightarrow 1 + y = 2 \Rightarrow y = 1 \] - Từ phương trình thứ ba: \[ \frac{-1 + z}{2} = 2.5 \Rightarrow -1 + z = 5 \Rightarrow z = 6 \] 5. Kết luận: Tọa độ điểm D là \((0; 1; 6)\). Vậy, tọa độ điểm D là \(A.~(0;1;6)\). Câu 9: Để tìm tọa độ điểm \( M \) thỏa mãn \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MA}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính vector \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = (1 - (-1); 0 - 2; 2 - 3) = (2; -2; -1) \] 2. Biểu diễn vector \(\overrightarrow{MA}\): Giả sử tọa độ của \( M \) là \( (x; y; z) \). Khi đó: \[ \overrightarrow{MA} = (-1 - x; 2 - y; 3 - z) \] 3. Thiết lập phương trình vector: Theo đề bài, \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MA}\), ta có: \[ (2; -2; -1) = 2(-1 - x; 2 - y; 3 - z) \] Từ đó, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2 = 2(-1 - x) \\ -2 = 2(2 - y) \\ -1 = 2(3 - z) \end{cases} \] 4. Giải hệ phương trình: - Phương trình thứ nhất: \[ 2 = 2(-1 - x) \implies 1 = -1 - x \implies x = -2 \] - Phương trình thứ hai: \[ -2 = 2(2 - y) \implies -1 = 2 - y \implies y = 3 \] - Phương trình thứ ba: \[ -1 = 2(3 - z) \implies -\frac{1}{2} = 3 - z \implies z = \frac{7}{2} \] 5. Kết luận: Tọa độ của điểm \( M \) là \((-2; 3; \frac{7}{2})\). Vậy đáp án đúng là \( B. ~M(-2; 3; \frac{7}{2}) \). Câu 10: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \] Với \(\overrightarrow{a} = (2; 1; -3)\) và \(\overrightarrow{b} = (-2; -1; 2)\), ta có: - \(a_1 = 2\), \(b_1 = -2\) - \(a_2 = 1\), \(b_2 = -1\) - \(a_3 = -3\), \(b_3 = 2\) Thay các giá trị này vào công thức, ta tính được: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(-2) + (1)(-1) + (-3)(2) \] \[ = -4 - 1 - 6 \] \[ = -11 \] Vậy tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) bằng \(-11\). Do đó, đáp án đúng là B. \(-11\). Câu 11: Để tìm cô-sin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\| \cdot \|\overrightarrow{b}\|} \] Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\). \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-2) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) = -2 - 2 - 4 = -8 \] Bước 2: Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\). \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] Bước 3: Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{b}\). \[ \|\overrightarrow{b}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] Bước 4: Tính \(\cos \theta\). \[ \cos \theta = \frac{-8}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-8}{2\sqrt{18}} = \frac{-8}{6\sqrt{2}} = \frac{-4}{3\sqrt{2}} \] Rút gọn biểu thức: \[ \cos \theta = \frac{-4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{-2\sqrt{2}}{3} \] Vậy, cô-sin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Đáp án đúng là \(C.~-\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Câu 12: Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\). Tọa độ của điểm \(O\) là \((0;0;0)\), do đó: - Vectơ \(\overrightarrow{OA} = (7 - 0, -2 - 0, 1 - 0) = (7, -2, 1)\). - Vectơ \(\overrightarrow{OB} = (1 - 0, 5 - 0, 2 - 0) = (1, 5, 2)\). Tiếp theo, chúng ta tính tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\). Tích có hướng của hai vectơ \((x_1, y_1, z_1)\) và \((x_2, y_2, z_2)\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \left( y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2 \right) \] Áp dụng công thức trên cho \(\overrightarrow{OA} = (7, -2, 1)\) và \(\overrightarrow{OB} = (1, 5, 2)\): - Thành phần thứ nhất: \(y_1z_2 - z_1y_2 = (-2) \cdot 2 - 1 \cdot 5 = -4 - 5 = -9\). - Thành phần thứ hai: \(z_1x_2 - x_1z_2 = 1 \cdot 1 - 7 \cdot 2 = 1 - 14 = -13\). - Thành phần thứ ba: \(x_1y_2 - y_1x_2 = 7 \cdot 5 - (-2) \cdot 1 = 35 + 2 = 37\). Vậy, tích có hướng \(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (-9, -13, 37)\). Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) là tổng các thành phần của vectơ tích có hướng: \[ a + b + c = -9 + (-13) + 37 = -22 + 37 = 15 \] Do đó, giá trị của biểu thức \(a + b + c\) là 15. Vậy đáp án đúng là A. 15. Câu 13: Để giải quyết các phát biểu trên, ta cần phân tích từng câu một cách chi tiết. a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC^\prime}=\overrightarrow{AA^\prime}\): - Trong hình lập phương, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}, \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}, \quad \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{a} \] - Do đó, tổng các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} + (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) \] không thể bằng \(\overrightarrow{a}\) vì \(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} + \overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{0}\). Kết luận: Phát biểu a) là sai. b) Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{B^\prime C}\) vuông góc với nhau: - Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{AB}\) là cạnh của đáy và \(\overrightarrow{B^\prime C}\) là cạnh của mặt trên, nhưng không cùng mặt phẳng với \(\overrightarrow{AB}\). - \(\overrightarrow{B^\prime C}\) song song với \(\overrightarrow{BC}\) và vuông góc với \(\overrightarrow{AB}\). Kết luận: Phát biểu b) là đúng. c) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{BD}\) và \(\overrightarrow{B^\prime C}\) bằng \(60^\circ\): - Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{BD}\) là đường chéo của mặt đáy và \(\overrightarrow{B^\prime C}\) là cạnh của mặt trên. - Góc giữa \(\overrightarrow{BD}\) và \(\overrightarrow{B^\prime C}\) không thể là \(60^\circ\) vì \(\overrightarrow{BD}\) và \(\overrightarrow{B^\prime C}\) không nằm trong cùng một mặt phẳng và không có lý do gì để góc giữa chúng là \(60^\circ\). Kết luận: Phát biểu c) là sai. d) \(\overrightarrow{A^\prime A}+\overrightarrow{A^\prime B}+\overrightarrow{A^\prime C}+\overrightarrow{A^\prime D}=\overrightarrow{A^\prime O}\): - Ta có: \[ \overrightarrow{A^\prime A} = -\overrightarrow{a}, \quad \overrightarrow{A^\prime B} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}, \quad \overrightarrow{A^\prime C} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}, \quad \overrightarrow{A^\prime D} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} \] - Tổng các vectơ: \[ \overrightarrow{A^\prime A} + \overrightarrow{A^\prime B} + \overrightarrow{A^\prime C} + \overrightarrow{A^\prime D} = (-\overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{a}) \] \[ = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - 4\overrightarrow{a} \] - \(\overrightarrow{A^\prime O}\) là trung điểm của đường chéo không gian, nên: \[ \overrightarrow{A^\prime O} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a}) \] - Rõ ràng, tổng trên không bằng \(\overrightarrow{A^\prime O}\). Kết luận: Phát biểu d) là sai. Câu 14: Để giải quyết các phát biểu trên, ta cần sử dụng một số kiến thức về vectơ và tích vô hướng. Phát biểu a): \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1.\) Ta biết rằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \theta \] với \(\theta\) là góc giữa hai vectơ. Ở đây, \(|\overrightarrow{a}| = 1\), \(|\overrightarrow{b}| = 1\) và \(\theta = 60^\circ\). Do đó: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] Vậy phát biểu a) là sai. Phát biểu b): \((\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = -\frac{9}{2}.\) Ta tính tích vô hướng: \[ (\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} - 6\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ = |\overrightarrow{a}|^2 - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + 3(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) - 6|\overrightarrow{b}|^2 \] \[ = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 6 \cdot 1 \] \[ = 1 - 1 + \frac{3}{2} - 6 = -\frac{9}{2} \] Vậy phát biểu b) là đúng. Phát biểu c): \((\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})^2 = 4.\) Ta tính bình phương của tổng hai vectơ: \[ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})^2 = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \] \[ = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ = |\overrightarrow{a}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + |\overrightarrow{b}|^2 \] \[ = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 3 \] Vậy phát biểu c) là sai. Phát biểu d): \(|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{3}.\) Ta tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}\): \[ |\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \] \[ = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ = |\overrightarrow{a}|^2 - 4(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + 4|\overrightarrow{b}|^2 \] \[ = 1 - 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 = 3 \] \[ |\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{3} \] Vậy phát biểu d) là đúng. Câu 15: Để giải quyết các phát biểu đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một cách chi tiết. a) Phát biểu: $\overrightarrow p=3\overrightarrow i-2\overrightarrow j+\overrightarrow k.$ Vectơ $\overrightarrow p$ được cho có tọa độ $(3; -2; 1)$. Biểu diễn vectơ này dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đơn vị $\overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k$ là: \[ \overrightarrow p = 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 1\overrightarrow k \] Phát biểu này đúng vì biểu diễn này khớp với tọa độ đã cho của vectơ $\overrightarrow p$. b) Phát biểu: Tọa độ vectơ $2\overrightarrow p-3\overrightarrow q+\overrightarrow r$ là $(-10;9;-7).$ Trước tiên, chúng ta cần tính toán tọa độ của vectơ $2\overrightarrow p - 3\overrightarrow q + \overrightarrow r$. - Tọa độ của $2\overrightarrow p$ là $2 \times (3; -2; 1) = (6; -4; 2)$. - Tọa độ của $3\overrightarrow q$ là $3 \times (6; -4; 2) = (18; -12; 6)$. - Tọa độ của $\overrightarrow r$ là $(2; 1; -3)$. Bây giờ, tính toán: \[ 2\overrightarrow p - 3\overrightarrow q + \overrightarrow r = (6; -4; 2) - (18; -12; 6) + (2; 1; -3) \] Tính từng thành phần: - Thành phần $x$: $6 - 18 + 2 = -10$ - Thành phần $y$: $-4 + 12 + 1 = 9$ - Thành phần $z$: $2 - 6 - 3 = -7$ Vậy tọa độ của vectơ $2\overrightarrow p - 3\overrightarrow q + \overrightarrow r$ là $(-10; 9; -7)$. Phát biểu này đúng. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) đúng.