Cho tam giác cân tại A , các đường trung tuyến CE , BD cắt nhau tại O .
Gọi E là trung điểm của NO , D là trung điểm của MO
Tứ giác BNMC là hình gì? Vì sao?

Question

Cho tam giác   cân tại A , các đường trung tuyến CE , BD  cắt nhau tại O  . 
Gọi  E là trung điểm của NO  ,   D là trung điểm của  MO
Tứ giác  BNMC là hình gì? Vì sao?

nganduong19 · Accepted Answer

Tam giác ABC có
Có BD, CE là trung tuyến
$\displaystyle BD\cap CE\equiv O$
⟹ O là trọng tâm tam giác ABC
⟹ AO là trung tuyến
Mà ABC cân tại A
⟹ AO là đường cao ⟹$\displaystyle AO\bot BC$
Xét tứ giác AOCM có
D là trung điểm của AC (gt)
D là trung điểm của OM (gt)
⟹ AOCM là hình bình hành
⟹$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AO=CM\
AO//CM
\end{array}$
Xét tứ giác AOBN có
E là trung điểm của AB (gt)
E là trung điểm của ON (gt)
⟹ AOBN là hình bình hành
⟹$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AO=BN\
AO//BN
\end{array}$
Tứ giác BNMC có
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
BN=CM\ \ ( =AO)\
CM//BN\ \ ( //AO)
\end{array}$
⟹ BNMC là hình bình hành
Mà $\displaystyle AO\bot BC\Longrightarrow CM\bot BC\equiv C\Longrightarrow \widehat{BCM} =90^{0}$
⟹ BNMC là hình chữ nhật

Timi · Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành các bước sau:

1. Xác định tính chất của tam giác cân và các đường trung tuyến.
2. Xác định tính chất của tứ giác BNMC dựa trên các đường trung tuyến và trung điểm đã cho.

Bước 1: Xác định tính chất của tam giác cân và các đường trung tuyến.

- Tam giác ABC cân tại A, nghĩa là AB = AC.
- Các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại O.
- E là trung điểm của NO, D là trung điểm của MO.

Bước 2: Xác định tính chất của tứ giác BNMC dựa trên các đường trung tuyến và trung điểm đã cho.

- Vì E là trung điểm của NO và D là trung điểm của MO, nên đoạn thẳng DE song song với đoạn thẳng MN (theo định lý đường trung bình trong tam giác).
- Do tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BD và CE cũng là đường cao và đường phân giác của tam giác ABC.
- Điều này có nghĩa là BD và CE vuông góc với AC và AB lần lượt, và chia đôi các góc đỉnh B và C.

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng tứ giác BNMC là hình thang cân.

- Ta thấy rằng đoạn thẳng DE song song với đoạn thẳng MN, do đó tứ giác BNMC có hai cạnh đối song song là BN và MC.
- Vì tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BD và CE cũng là đường cao và đường phân giác của tam giác ABC, nên các đoạn thẳng BN và MC bằng nhau (do tính chất của tam giác cân và đường trung tuyến).

Do đó, tứ giác BNMC là hình thang cân vì có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau.

Đáp số: Tứ giác BNMC là hình thang cân.

Cho tam giác cân tại A , các đường trung tuyến CE , BD cắt nhau tại O . Gọi E là trung điểm của NO , D là trung điểm của MO Tứ giác BNMC là hình gì? Vì sao?