Cho hình lập phương ABCD.EFGH Số đo góc giữa hai véctơ AD và BG là bao nhiêu độ

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm số đo góc giữa hai véctơ AD và BG trong hình lập phương ABCD.EFGH, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm:
   Giả sử hình lập phương có cạnh dài $ a $. Ta chọn hệ tọa độ sao cho:
   - A(0, 0, 0)
   - B(a, 0, 0)
   - D(0, a, 0)
   - G(a, a, a)

2. Tìm tọa độ của các véctơ:
   - Véctơ AD: 
     $$
     \overrightarrow{AD} = D - A = (0, a, 0) - (0, 0, 0) = (0, a, 0)
     $$
   - Véctơ BG:
     $$
     \overrightarrow{BG} = G - B = (a, a, a) - (a, 0, 0) = (0, a, a)
     $$

3. Tính tích vô hướng của hai véctơ:
   $$
   \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BG} = (0, a, 0) \cdot (0, a, a) = 0 \times 0 + a \times a + 0 \times a = a^2
   $$

4. Tính độ dài của mỗi véctơ:
   - Độ dài của véctơ AD:
     $$
     |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a
     $$
   - Độ dài của véctơ BG:
     $$
     |\overrightarrow{BG}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
     $$

5. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véctơ:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BG}}{|\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{BG}|} = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
   $$

6. Tìm góc $\theta$:
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ
   $$

Vậy số đo góc giữa hai véctơ AD và BG là $ 45^\circ $.

Đáp số: $ 45^\circ $

ngochong511 · Answer

Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véctơ:
$\displaystyle cos\alpha =\frac{\overrightarrow{AD} .\overrightarrow{BG}}{|\overrightarrow{AD} |.|\overrightarrow{BG} |} =\frac{a^{2}}{a.a\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy số đo góc giữa hai véctơ AD và BG là $\displaystyle \alpha =45^{0}$

Δυναστεία Θάλασσα Ευφυής · Answer

Số đo góc giữa hai vector AD và BG là 45 độ