giúp tớ vs

Câu 3: Để giải quyết các phát biểu trong bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ Trong hình hộp ABCD.EFGH, tâm O là trung điểm của các đường chéo AC và BD. Do đó: - $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$ - $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}$ Do đó: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OC} + (-\overrightarrow{OD}) + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Phát biểu a đúng. b) $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} = 3\overrightarrow{EM}$ M là trọng tâm của tam giác AFH, do đó: \[ \overrightarrow{EM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH}) \] Nhân cả hai vế với 3, ta có: \[ 3\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} \] Phát biểu b đúng. c) Ba điểm E, M, C thẳng hàng Trọng tâm M của tam giác AFH nằm trên đường thẳng nối đỉnh E với trọng tâm của tam giác ACH. Trọng tâm của tam giác ACH là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa đỉnh C và trung điểm của đoạn thẳng AH. Vì vậy, M nằm trên đường thẳng nối E và C. Phát biểu c đúng. d) EC = 3EM Trọng tâm M của tam giác AFH chia mỗi đoạn thẳng từ đỉnh E đến trọng tâm của tam giác ACH thành tỉ lệ 2:1. Do đó, đoạn thẳng EM chiếm 1 phần trong tổng 3 phần của đoạn thẳng EC. Phát biểu d đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 4: a) Ta có: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{B'C'} \] Mặt khác: \[ \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'A'} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'A'} \] Nhưng \(\overrightarrow{D'A'} = -\overrightarrow{AA'}\), nên: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD'} - \overrightarrow{AA'} \] Vậy mệnh đề a) sai. b) Ta có: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}) \] Mặt khác: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}, \quad \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AA'} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] Vậy mệnh đề b) đúng. c) Ta có: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}) \] Mặt khác: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}, \quad \overrightarrow{CC'} = -\overrightarrow{A'A} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{A'A} \] Vậy mệnh đề c) sai. d) Ta có: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{C'C} + \overrightarrow{C'B} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC'} \] Mặt khác: \[ \overrightarrow{C'B} = -\overrightarrow{BC'}, \quad \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{DB}, \quad \overrightarrow{DC'} = -\overrightarrow{C'D'} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{C'C} - \overrightarrow{BC'} - \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{C'D'} \] Vậy mệnh đề d) sai. Đáp án: b) đúng. Câu 5: Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ tính toán từng trường hợp một. a) Ta có: \[ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'} \] Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{DD'}\) là hai vectơ vuông góc với nhau và cùng có độ dài bằng 1. Do đó: \[ |\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] Vậy mệnh đề a) là đúng. b) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), và \(\overrightarrow{AA'}\) là ba vectơ vuông góc với nhau và cùng có độ dài bằng 1. Do đó: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] Vậy mệnh đề b) là sai. c) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA'} \] Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AA'}\) là hai vectơ vuông góc với nhau và cùng có độ dài bằng 1. Do đó: \[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA'}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] Vậy mệnh đề c) là sai. d) Ta có: \[ \overrightarrow{A'C'} + \overrightarrow{C'C} = \overrightarrow{A'C'} + \overrightarrow{CC'} \] Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{A'C'}\) và \(\overrightarrow{CC'}\) là hai vectơ vuông góc với nhau và cùng có độ dài bằng 1. Do đó: \[ |\overrightarrow{A'C'} + \overrightarrow{CC'}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] Vậy mệnh đề d) là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 6: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt tính toán từng biểu thức theo yêu cầu. Phần a) Tính $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(45^\circ) \] Vì $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 1$ và $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Phần b) Tính $(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b})$: \[ (\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} - 6\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] Biết rằng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2 = 1$, $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{b}|^2 = 1$, và $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có: \[ = 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 \cdot 1 \] \[ = 1 - \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} - 6 \] \[ = 1 - 6 + \left(-\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ = -5 + \frac{-2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} \] \[ = -5 + \frac{\sqrt{2}}{2} \] Phần c) Tính $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \] \[ = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ = 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \] \[ = 1 + \sqrt{2} + 1 \] \[ = 2 + \sqrt{2} \] Do đó: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \] Phần d) Tính $|\overrightarrow{a} - \sqrt{2} \overrightarrow{b}|$: \[ |\overrightarrow{a} - \sqrt{2} \overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{a} - \sqrt{2} \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \sqrt{2} \overrightarrow{b}) \] \[ = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - 2\sqrt{2} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ = 1 - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \] \[ = 1 - 2 + 2 \] \[ = 1 \] Do đó: \[ |\overrightarrow{a} - \sqrt{2} \overrightarrow{b}| = \sqrt{1} = 1 \] Kết luận Các kết quả đã được tính toán như sau: a) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ b) $(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = -5 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ c) $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ d) $|\overrightarrow{a} - \sqrt{2} \overrightarrow{b}| = 1$ Đáp số: a) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ b) $-5 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ c) $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ d) $1$ Câu 7: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một tứ diện đều, tất cả các cạnh đều có cùng độ dài và các mặt đều là tam giác đều. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD}=0$ - Vì M là trung điểm của CD, nên $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{MD}$ và $\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{CM}$. - Trong tứ diện đều, AM là đường cao hạ từ A xuống mặt đáy BCD, do đó $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với mọi vectơ nằm trên mặt đáy BCD, bao gồm cả $\overrightarrow{CD}$. - Vậy $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0$. Phát biểu này đúng. b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}$ - Trong tam giác đều ABC, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ tạo với nhau một góc 60°. - Tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \] - Phát biểu này đúng. c) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0$ - Trong tứ diện đều, AB và CD không vuông góc với nhau. Do đó, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \neq 0$. - Phát biểu này sai. d) $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=-\frac{a^2}{2}$ - Ta đã biết $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với mặt đáy BCD, do đó $\overrightarrow{AM}$ không vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. - Để tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}$, ta cần biết góc giữa chúng. Tuy nhiên, do $\overrightarrow{AM}$ là đường cao hạ từ A xuống mặt đáy BCD, góc giữa $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ không phải là 90°, do đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} \neq -\frac{a^2}{2}$. - Phát biểu này sai. Kết luận: Phát biểu đúng là: a) $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD}=0$ b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}$ Câu 8: Trước tiên, ta xác định các vectơ trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. - $\overrightarrow{AD'}$ là vectơ từ A đến D'. - $\overrightarrow{CC'}$ là vectơ từ C đến C'. - $\overrightarrow{AB'}$ là vectơ từ A đến B'. - $\overrightarrow{CD'}$ là vectơ từ C đến D'. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: a) $\overrightarrow{AD'} \cdot \overrightarrow{CC'} = a^2$ - $\overrightarrow{AD'}$ và $\overrightarrow{CC'}$ đều là các vectơ thẳng đứng (cùng hướng với trục Oz). Do đó, góc giữa chúng là 0°. - Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng là tích độ dài của chúng: $\overrightarrow{AD'} \cdot \overrightarrow{CC'} = |\overrightarrow{AD'}| \cdot |\overrightarrow{CC'}| \cdot \cos(0°) = a \cdot a \cdot 1 = a^2$. - Vậy mệnh đề này đúng. b) $\overrightarrow{AD'} \cdot \overrightarrow{AB'} = a^2$ - $\overrightarrow{AD'}$ và $\overrightarrow{AB'}$ không cùng hướng và không vuông góc với nhau. Góc giữa chúng là 45°. - Tích vô hướng của hai vectơ này là: $\overrightarrow{AD'} \cdot \overrightarrow{AB'} = |\overrightarrow{AD'}| \cdot |\overrightarrow{AB'}| \cdot \cos(45°) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{2}$. - Vậy mệnh đề này sai. c) $\overrightarrow{AB'} \cdot \overrightarrow{CD'} = 0$ - $\overrightarrow{AB'}$ và $\overrightarrow{CD'}$ là hai vectơ vuông góc với nhau (vì AB' nằm trên mặt phẳng (ABB'A') và CD' nằm trên mặt phẳng (CDD'C'), hai mặt phẳng này vuông góc với nhau). - Tích vô hướng của hai vectơ vuông góc là 0: $\overrightarrow{AB'} \cdot \overrightarrow{CD'} = 0$. - Vậy mệnh đề này đúng. d) $|\overrightarrow{AC'}| = a\sqrt{3}$ - $\overrightarrow{AC'}$ là vectơ chéo của hình lập phương, nối đỉnh A với đỉnh C'. - Độ dài của vectơ chéo trong hình lập phương là $a\sqrt{3}$. - Vậy mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) đúng.