vẫn là mấy cái định lý ạ?:") NÂNG CAO: Định lí Ceva; Định lí Menelaus

Question

Yuko Miarahg2 · Accepted Answer

Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, thế kỷ I sau công nguyên)

Cho tam giác ABC . Các điểm $\mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{B}^{\prime}, \mathrm{C}$ ' lần lượt nằm trên các đường thẳng $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC . Khi đó $\mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{B}^{\prime}, \mathrm{C}$ ' thẳng hàng khi và chỉ khi $\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{A^{\prime} C} \cdot \frac{B^{\prime} C}{B^{\prime} A} \cdot \frac{C^{\prime} A}{C^{\prime} B}=1$

Định Lý Ceva (CHUNG)
Cho tam giác $\mathrm{ABC} . \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ lần lượt nằm trên các cạnh $\mathrm{BC}, \mathrm{AC}, \mathrm{AB}$.
- $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ đồng quy tại một điểm.
-. $\frac{\sin A B E}{\sin D A B} \cdot \frac{\sin B C F}{\sin E B C} \cdot \frac{\sin C A D}{\sin F C A}=1$.
-$\frac{A E}{E C} \cdot \frac{C D}{D B} \cdot \frac{B F}{F A}=1$.

Timi · Answer

Để giải quyết các bài toán nâng cao liên quan đến Định lý Ceva và Định lý Menelaus, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức đã học ở lớp 8 và các định lý này một cách cẩn thận. Dưới đây là ví dụ về cách áp dụng từng định lý.

Định lý Ceva
Định lý Ceva nói rằng trong tam giác ABC, ba đường thẳng AD, BE, CF cắt nhau tại một điểm nếu và chỉ nếu:
$$ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1 $$

Ví dụ:
Cho tam giác ABC, đường thẳng AD, BE, CF cắt nhau tại điểm P. Biết rằng BD = 3, DC = 2, CE = 4, EA = 3, AF = 5, FB = 4. Kiểm tra xem ba đường thẳng này có cắt nhau tại một điểm hay không?

Giải:
Ta kiểm tra theo Định lý Ceva:
$$ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3 \times 4 \times 5}{2 \times 3 \times 4} = \frac{60}{24} = 2.5 \neq 1 $$

Vậy ba đường thẳng AD, BE, CF không cắt nhau tại một điểm.

Định lý Menelaus
Định lý Menelaus nói rằng trong tam giác ABC, ba điểm D, E, F nằm trên ba cạnh BC, CA, AB (hoặc các đường thẳng chứa chúng) thì:
$$ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = -1 $$
(Chú ý: Các đoạn thẳng được coi là có dấu, nghĩa là nếu điểm D nằm ngoài đoạn BC thì BD và DC có dấu trái dấu nhau.)

Ví dụ:
Cho tam giác ABC, đường thẳng DEF cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Biết rằng BD = 3, DC = 2, CE = 4, EA = 3, AF = 5, FB = 4. Kiểm tra xem ba điểm D, E, F có nằm trên một đường thẳng hay không?

Giải:
Ta kiểm tra theo Định lý Menelaus:
$$ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3 \times 4 \times 5}{2 \times 3 \times 4} = \frac{60}{24} = 2.5 \neq -1 $$

Vậy ba điểm D, E, F không nằm trên một đường thẳng.

Kết luận
- Định lý Ceva được dùng để kiểm tra xem ba đường thẳng trong tam giác có cắt nhau tại một điểm hay không.
- Định lý Menelaus được dùng để kiểm tra xem ba điểm trên các cạnh của tam giác có nằm trên một đường thẳng hay không.

Hy vọng các ví dụ trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng Định lý Ceva và Định lý Menelaus.