Giúp mình với!Giải hộ mình câu này với các bạn

Để giải quyết các bài toán liên quan đến việc phân tích đa thức thành nhân tử thông qua nhóm số hạng và đặt nhân tử chung, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Nhóm các số hạng xuất hiện hằng đẳng thức thành một nhóm, các số hạng còn lại thành một nhóm: - Đầu tiên, chúng ta cần nhận biết các nhóm số hạng có thể xuất hiện hằng đẳng thức. - Sau đó, nhóm các số hạng này lại với nhau và nhóm các số hạng còn lại thành một nhóm khác. 2. Dùng hằng đẳng thức để viết nhóm các số hạng xuất hiện hằng đẳng thức thành tích: - Áp dụng các hằng đẳng thức đã học (như hằng đẳng thức đáng nhớ) để viết nhóm các số hạng thành tích. 3. Đặt nhân tử chung ở các nhóm ra ngoài để viết thành tích: - Tìm nhân tử chung của các nhóm đã được viết thành tích. - Đặt nhân tử chung ra ngoài và viết biểu thức dưới dạng tích. Ví dụ cụ thể: Giả sử chúng ta có đa thức \( x^2 + 2xy + y^2 + 3x + 3y \). 1. Nhóm các số hạng xuất hiện hằng đẳng thức thành một nhóm, các số hạng còn lại thành một nhóm: - Nhận thấy rằng \( x^2 + 2xy + y^2 \) là một hằng đẳng thức \( (x + y)^2 \). - Nhóm các số hạng còn lại là \( 3x + 3y \). 2. Dùng hằng đẳng thức để viết nhóm các số hạng xuất hiện hằng đẳng thức thành tích: - \( x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \). 3. Đặt nhân tử chung ở các nhóm ra ngoài để viết thành tích: - Nhóm \( 3x + 3y \) có nhân tử chung là 3, nên \( 3x + 3y = 3(x + y) \). - Kết hợp lại, ta có: \[ x^2 + 2xy + y^2 + 3x + 3y = (x + y)^2 + 3(x + y) \] - Nhận thấy rằng \( (x + y) \) là nhân tử chung của cả hai nhóm, nên ta đặt \( (x + y) \) ra ngoài: \[ (x + y)^2 + 3(x + y) = (x + y)((x + y) + 3) = (x + y)(x + y + 3) \] Vậy, đa thức \( x^2 + 2xy + y^2 + 3x + 3y \) được phân tích thành nhân tử là \( (x + y)(x + y + 3) \). Kết luận: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thông qua nhóm số hạng và đặt nhân tử chung giúp chúng ta dễ dàng nhận biết và áp dụng các hằng đẳng thức, từ đó viết biểu thức dưới dạng tích một cách hiệu quả. Ví dụ 5. a) \( x^2 - 4x + 4 - y^2 \) Ta nhận thấy rằng \( x^2 - 4x + 4 \) là một hằng đẳng thức hoàn chỉnh: \[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \] Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: \[ x^2 - 4x + 4 - y^2 = (x - 2)^2 - y^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (x - 2)^2 - y^2 = (x - 2 - y)(x - 2 + y) \] Vậy, \( x^2 - 4x + 4 - y^2 = (x - 2 - y)(x - 2 + y) \). b) \( x^2 + 2xy + y^2 - x - y \) Ta nhận thấy rằng \( x^2 + 2xy + y^2 \) là một hằng đẳng thức hoàn chỉnh: \[ x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \] Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: \[ x^2 + 2xy + y^2 - x - y = (x + y)^2 - (x + y) \] Ta đặt \( z = x + y \), thì biểu thức trở thành: \[ z^2 - z \] Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - a = a(a - 1) \): \[ z^2 - z = z(z - 1) \] Thay lại \( z = x + y \): \[ (x + y)(x + y - 1) \] Vậy, \( x^2 + 2xy + y^2 - x - y = (x + y)(x + y - 1) \). c) \( x^2 - 2xy + y^2 - 9 \) Ta nhận thấy rằng \( x^2 - 2xy + y^2 \) là một hằng đẳng thức hoàn chỉnh: \[ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \] Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: \[ x^2 - 2xy + y^2 - 9 = (x - y)^2 - 9 \] Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (x - y)^2 - 9 = (x - y - 3)(x - y + 3) \] Vậy, \( x^2 - 2xy + y^2 - 9 = (x - y - 3)(x - y + 3) \). d) \( 4x^2 - 4xy - y^2 \) Ta nhận thấy rằng \( 4x^2 - 4xy + y^2 \) là một hằng đẳng thức hoàn chỉnh: \[ 4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2 \] Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: \[ 4x^2 - 4xy - y^2 = (2x - y)^2 - 2y^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (2x - y)^2 - 2y^2 = (2x - y - \sqrt{2}y)(2x - y + \sqrt{2}y) \] Vậy, \( 4x^2 - 4xy - y^2 = (2x - y - \sqrt{2}y)(2x - y + \sqrt{2}y) \). Đáp số: a) \( (x - 2 - y)(x - 2 + y) \) b) \( (x + y)(x + y - 1) \) c) \( (x - y - 3)(x - y + 3) \) d) \( (2x - y - \sqrt{2}y)(2x - y + \sqrt{2}y) \) Ví dụ 7. a) $(x+2)^3+1$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, ta có: $(x+2)^3+1=(x+2)^3+1^3=(x+2+1)((x+2)^2-(x+2)\times 1+1^2)=(x+3)(x^2+4x+4-x-2+1)=(x+3)(x^2+3x+3)$ b) $x^3+6x^2+12x+9$ Ta nhận thấy rằng $x^3+6x^2+12x+9$ có dạng giống với $(a+b)^3$. Ta thử đặt $a=x$ và $b=3$: $(x+3)^3=x^3+3\times x^2\times 3+3\times x\times 3^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27$ Nhưng $x^3+6x^2+12x+9$ không giống với $(x+3)^3$. Do đó, ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử: $x^3+6x^2+12x+9=(x^3+3x^2)+(3x^2+9x)+(3x+9)=x^2(x+3)+3x(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x^2+3x+3)$ c) $x^3+6x^2+12x+7$ Ta nhận thấy rằng $x^3+6x^2+12x+7$ có dạng giống với $(a+b)^3$. Ta thử đặt $a=x$ và $b=1$: $(x+1)^3=x^3+3\times x^2\times 1+3\times x\times 1^2+1^3=x^3+3x^2+3x+1$ Nhưng $x^3+6x^2+12x+7$ không giống với $(x+1)^3$. Do đó, ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử: $x^3+6x^2+12x+7=(x^3+x^2)+(5x^2+5x)+(7x+7)=x^2(x+1)+5x(x+1)+7(x+1)=(x+1)(x^2+5x+7)$ d) $2x^3+6x^2+12x+8$ Ta nhận thấy rằng $2x^3+6x^2+12x+8$ có dạng giống với $2(a+b)^3$. Ta thử đặt $a=x$ và $b=1$: $2(x+1)^3=2(x^3+3\times x^2\times 1+3\times x\times 1^2+1^3)=2(x^3+3x^2+3x+1)=2x^3+6x^2+6x+2$ Nhưng $2x^3+6x^2+12x+8$ không giống với $2(x+1)^3$. Do đó, ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử: $2x^3+6x^2+12x+8=2(x^3+3x^2+6x+4)=2((x^3+x^2)+(2x^2+2x)+(4x+4))=2(x^2(x+1)+2x(x+1)+4(x+1))=2(x+1)(x^2+2x+4)$ Ví dụ 8. a) Ta có: \[ (2k-1)^2 - 9 = (2k-1)^2 - 3^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[ (2k-1)^2 - 3^2 = (2k-1-3)(2k-1+3) = (2k-4)(2k+2) \] Ta thấy: \[ (2k-4)(2k+2) = 2(k-2) \times 2(k+1) = 4(k-2)(k+1) \] Vì \(4(k-2)(k+1)\) là bội của 4 nên \((2k-1)^2 - 9\) chia hết cho 4. b) Ta có: \[ 4 - (1+3k)^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[ 4 - (1+3k)^2 = 2^2 - (1+3k)^2 = (2 - (1+3k))(2 + (1+3k)) = (2 - 1 - 3k)(2 + 1 + 3k) = (1 - 3k)(3 + 3k) \] Ta thấy: \[ (1 - 3k)(3 + 3k) = 3(1 - k)(1 + k) \] Vì \(3(1 - k)(1 + k)\) là bội của 3 nên \(4 - (1+3k)^2\) chia hết cho 3. Đáp số: a) \((2k-1)^2 - 9\) chia hết cho 4. b) \(4 - (1+3k)^2\) chia hết cho 3. Bài 1. 1) \( x^2 + 8x + 16 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \): \[ x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \] 2) \( 9x^2 - 6x + 1 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \): \[ 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 \] 3) \( 10x - 25 - x^2 \) Ta viết lại thành dạng \( -x^2 + 10x - 25 \): \[ -x^2 + 10x - 25 = -(x^2 - 10x + 25) = -(x - 5)^2 \] 4) \( x^2 + 5x + \frac{25}{4} \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \): \[ x^2 + 5x + \frac{25}{4} = \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 \] 5) \( 16 - x^2 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ 16 - x^2 = (4 - x)(4 + x) \] 6) \( 16 - (3x + 1)^2 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ 16 - (3x + 1)^2 = (4 - (3x + 1))(4 + (3x + 1)) = (3 - 3x)(5 + 3x) \] 7) \( (2x + 5)^2 - 9x^2 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (2x + 5)^2 - 9x^2 = ((2x + 5) - 3x)((2x + 5) + 3x) = (5 - x)(5x + 5) \] 8) \( (2x - 1)^2 - (3x - 1)^2 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (2x - 1)^2 - (3x - 1)^2 = ((2x - 1) - (3x - 1))((2x - 1) + (3x - 1)) = (-x)(5x - 2) \] 9) \( 4x^2 - 4x - y + y^2 \) Ta nhóm lại thành \( (4x^2 - 4x + 1) - (y - y^2) \): \[ 4x^2 - 4x - y + y^2 = (2x - 1)^2 - (y - 1)^2 = ((2x - 1) - (y - 1))((2x - 1) + (y - 1)) = (2x - y)(2x + y - 2) \] 10) \( (x + 1)^2 - 9y^2 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (x + 1)^2 - 9y^2 = (x + 1 - 3y)(x + 1 + 3y) \] 11) \( x^4y^4 + 4x^2y^2 + 4 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \): \[ x^4y^4 + 4x^2y^2 + 4 = (x^2y^2 + 2)^2 \] 12) \( y^2 - 4y + 4 - x^2 \) Ta viết lại thành dạng \( (y - 2)^2 - x^2 \): \[ y^2 - 4y + 4 - x^2 = (y - 2)^2 - x^2 = ((y - 2) - x)((y - 2) + x) = (y - x - 2)(y + x - 2) \] 13) \( 1 - 27x^3 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \): \[ 1 - 27x^3 = 1^3 - (3x)^3 = (1 - 3x)(1 + 3x + 9x^2) \] 14) \( (x - 3)^3 + 27 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \): \[ (x - 3)^3 + 27 = (x - 3)^3 + 3^3 = ((x - 3) + 3)((x - 3)^2 - 3(x - 3) + 9) = x(x^2 - 9x + 27) \] 15) \( 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3 \): \[ 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = (3x + 1)^3 \] 16) \( \frac{x^6}{27} - \frac{x^4y}{3} + x^2y - y^3 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3 \): \[ \frac{x^6}{27} - \frac{x^4y}{3} + x^2y - y^3 = \left(\frac{x^2}{3} - y\right)^3 \] 17) \( (2x - 1)^3 + 8 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \): \[ (2x - 1)^3 + 8 = (2x - 1)^3 + 2^3 = ((2x - 1) + 2)((2x - 1)^2 - 2(2x - 1) + 4) = (2x + 1)(4x^2 - 8x + 7) \] 18) \( 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3 \): \[ 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x - 1)^3 \] 19) \( 8x^3 - 12x^2 + 6x - 2 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3 \): \[ 8x^3 - 12x^2 + 6x - 2 = 2(4x^3 - 6x^2 + 3x - 1) = 2((2x - 1)^3) \] 20) \( 9x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \) Ta nhận thấy đây là dạng \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3 \): \[ 9x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (3x - 1)^3 \]