Chứng minh rằng một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ 3 thì tạo ra một tam giác mới có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác đã cho

Question

Accepted Answer

Chúng ta sẽ chứng minh rằng một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Xét tam giác ABC, đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC tại điểm D và E sao cho DE song song với BC.

1. Tìm tỉ số giữa các đoạn thẳng trên cùng một cạnh:
   - Vì DE // BC, theo định lý Ta-lét, ta có:
     $$
     \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
     $$

2. Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ADE và tam giác ABC:
   - Xét tam giác ADE và tam giác ABC:
     - Cạnh AD và AB: 
       $$
       \frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD + DB}
       $$
     - Cạnh AE và AC:
       $$
       \frac{AE}{AC} = \frac{AE}{AE + EC}
       $$
     - Vì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, ta có:
       $$
       \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}
       $$

3. Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ADE và tam giác ABC:
   - Xét cạnh DE và BC:
     - Vì DE // BC, theo định lý Ta-lét, ta có:
       $$
       \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}
       $$

4. Kết luận:
   - Từ các tỉ số trên, ta thấy rằng các cạnh của tam giác ADE tỉ lệ với các cạnh của tam giác ABC:
     $$
     \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}
     $$

Vậy, tam giác ADE có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác ABC.

Đáp số: Tam giác ADE có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác ABC.