Tìm giới hạn $\lim\limits_{x \to 1}$\frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{x-1}$

Để tìm giới hạn $\lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{x-1}$, ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp để đơn giản hóa biểu thức. Bước 1: Xác định dạng không xác định Khi $x \to 1$, ta có: $\sqrt[3]{2x-1} \to \sqrt[3]{2(1)-1} = \sqrt[3]{1} = 1.$ Do đó, biểu thức trở thành dạng $\frac{0}{0}$, tức là dạng không xác định. Bước 2: Nhân liên hợp Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên hợp của tử số: $\frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{x-1} = \frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{x-1} \cdot \frac{\sqrt[3]{(2x-1)^2} + \sqrt[3]{2x-1} + 1}{\sqrt[3]{(2x-1)^2} + \sqrt[3]{2x-1} + 1}.$ Bước 3: Rút gọn biểu thức Sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, ta có: $\frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{x-1} \cdot \frac{\sqrt[3]{(2x-1)^2} + \sqrt[3]{2x-1} + 1}{\sqrt[3]{(2x-1)^2} + \sqrt[3]{2x-1} + 1} = \frac{(2x-1) - 1}{(x-1)(\sqrt[3]{(2x-1)^2} + \sqrt[3]{2x-1} + 1)}.$ Rút gọn tử số: $= \frac{2x-2}{(x-1)(\sqrt[3]{(2x-1)^2} + \sqrt[3]{2x-1} + 1)} = \frac{2(x-1)}{(x-1)(\sqrt[3]{(2x-1)^2} + \sqrt[3]{2x-1} + 1)}.$ Rút gọn chung thừa số $(x-1)$ ở tử và mẫu: $= \frac{2}{\sqrt[3]{(2x-1)^2} + \sqrt[3]{2x-1} + 1}.$ Bước 4: Tính giới hạn Khi $x \to 1$, ta thay $x = 1$ vào biểu thức đã rút gọn: $\lim\limits_{x \to 1} \frac{2}{\sqrt[3]{(2x-1)^2} + \sqrt[3]{2x-1} + 1} = \frac{2}{\sqrt[3]{(2(1)-1)^2} + \sqrt[3]{2(1)-1} + 1} = \frac{2}{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1} + 1} = \frac{2}{1 + 1 + 1} = \frac{2}{3}.$ Vậy giới hạn là: $\lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{x-1} = \frac{2}{3}.$