$\lim\limits_{x \to 2}$\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt[]{x+7}}{2x^{2}-5x+2}$ $\sqrt[]{x+7}$

Để tính giới hạn $\lim\limits_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8x+11} - \sqrt{x+7}}{2x^2 - 5x + 2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $\sqrt[3]{8x+11}$ xác định với mọi $x$. - Biểu thức $\sqrt{x+7}$ xác định khi $x + 7 \geq 0$, tức là $x \geq -7$. - Biểu thức $2x^2 - 5x + 2$ xác định với mọi $x$. Do đó, ĐKXĐ của bài toán là $x \geq -7$. Bước 2: Thay $x = 2$ vào mẫu số để kiểm tra: \[ 2(2)^2 - 5(2) + 2 = 2(4) - 10 + 2 = 8 - 10 + 2 = 0 \] Mẫu số bằng 0 khi $x = 2$, do đó ta cần biến đổi tử số để loại bỏ dạng bất định $\frac{0}{0}$. Bước 3: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim\limits_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8x+11} - \sqrt{x+7}}{2x^2 - 5x + 2} \cdot \frac{\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)}}{\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)}} \] Bước 4: Áp dụng công thức nhân liên hợp: \[ \lim\limits_{x \to 2} \frac{(8x+11) - (x+7)}{(2x^2 - 5x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)})} \] \[ = \lim\limits_{x \to 2} \frac{8x + 11 - x - 7}{(2x^2 - 5x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)})} \] \[ = \lim\limits_{x \to 2} \frac{7x + 4}{(2x^2 - 5x + 2)(\sqrt[3]{(8x+11)^2} + \sqrt[3]{8x+11}\sqrt{x+7} + \sqrt{(x+7)})} \] Bước 5: Thay $x = 2$ vào biểu thức đã biến đổi: \[ = \frac{7(2) + 4}{(2(2)^2 - 5(2) + 2)(\sqrt[3]{(8(2)+11)^2} + \sqrt[3]{8(2)+11}\sqrt{2+7} + \sqrt{(2+7)})} \] \[ = \frac{14 + 4}{(8 - 10 + 2)(\sqrt[3]{27^2} + \sqrt[3]{27}\sqrt{9} + \sqrt{9})} \] \[ = \frac{18}{0(\sqrt[3]{729} + 3 \cdot 3 + 3)} \] Do mẫu số vẫn bằng 0, ta cần tiếp tục biến đổi hoặc áp dụng phương pháp khác. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể thấy rằng biểu thức ban đầu có dạng bất định $\frac{0}{0}$ và cần áp dụng phương pháp L'Hôpital hoặc phân tích thêm. Bước 6: Áp dụng phương pháp L'Hôpital (nếu cần thiết): \[ \lim\limits_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{8x+11} - \sqrt{x+7}}{2x^2 - 5x + 2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: - Đạo hàm của $\sqrt[3]{8x+11}$ là $\frac{8}{3}(8x+11)^{-\frac{2}{3}}$ - Đạo hàm của $\sqrt{x+7}$ là $\frac{1}{2}(x+7)^{-\frac{1}{2}}$ - Đạo hàm của $2x^2 - 5x + 2$ là $4x - 5$ Áp dụng L'Hôpital: \[ \lim\limits_{x \to 2} \frac{\frac{8}{3}(8x+11)^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{2}(x+7)^{-\frac{1}{2}}}{4x - 5} \] Thay $x = 2$ vào: \[ = \frac{\frac{8}{3}(27)^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{2}(9)^{-\frac{1}{2}}}{4(2) - 5} \] \[ = \frac{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{8 - 5} \] \[ = \frac{\frac{8}{27} - \frac{1}{6}}{3} \] \[ = \frac{\frac{16}{54} - \frac{9}{54}}{3} \] \[ = \frac{\frac{7}{54}}{3} \] \[ = \frac{7}{162} \] Vậy giới hạn của biểu thức là: \[ \boxed{\frac{7}{162}} \]