giúp mình nhé

Bài 4: a) Điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) Phương trình: \[ \frac{1}{x-2} + 3 = \frac{3-x}{x-2} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{1 + 3(x-2)}{x-2} = \frac{3-x}{x-2} \] Bỏ mẫu số chung: \[ 1 + 3(x-2) = 3 - x \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 1 + 3x - 6 = 3 - x \] \[ 3x - 5 = 3 - x \] Di chuyển các hạng tử: \[ 3x + x = 3 + 5 \] \[ 4x = 8 \] Chia cả hai vế cho 4: \[ x = 2 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = 2 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 2 \). Vậy phương trình vô nghiệm. b) Điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \) Phương trình: \[ \frac{x}{x-2} - \frac{2x}{x+2} = \frac{5}{x^2-4} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{x(x+2) - 2x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{5}{(x-2)(x+2)} \] Bỏ mẫu số chung: \[ x(x+2) - 2x(x-2) = 5 \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ x^2 + 2x - 2x^2 + 4x = 5 \] \[ -x^2 + 6x = 5 \] Di chuyển các hạng tử: \[ -x^2 + 6x - 5 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1: \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] Phân tích thành nhân tử: \[ (x-1)(x-5) = 0 \] Tìm nghiệm: \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 5 \] Kiểm tra điều kiện xác định: Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) hoặc \( x = 5 \). c) Điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \) Phương trình: \[ \frac{x+1}{x-2} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{2(x^2+2)}{x^2-4} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{(x+1)(x+2) - (x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2(x^2+2)}{(x-2)(x+2)} \] Bỏ mẫu số chung: \[ (x+1)(x+2) - (x-1)(x-2) = 2(x^2+2) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ x^2 + 3x + 2 - (x^2 - 3x + 2) = 2x^2 + 4 \] \[ x^2 + 3x + 2 - x^2 + 3x - 2 = 2x^2 + 4 \] \[ 6x = 2x^2 + 4 \] Di chuyển các hạng tử: \[ 2x^2 - 6x + 4 = 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Phân tích thành nhân tử: \[ (x-1)(x-2) = 0 \] Tìm nghiệm: \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 2 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = 2 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 2 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \). Đáp số: a) Phương trình vô nghiệm. b) \( x = 1 \) hoặc \( x = 5 \). c) \( x = 1 \). Bài 5. a. Điều kiện xác định: \( x \neq 1 \) Phương trình đã cho: \[ \frac{2}{x-1} + \frac{2x+3}{x^2+x+1} = \frac{(2x-1)(2x+1)}{x^3-1} \] Ta nhận thấy rằng \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \). Do đó, phương trình trở thành: \[ \frac{2}{x-1} + \frac{2x+3}{x^2+x+1} = \frac{(2x-1)(2x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} \] Nhân cả hai vế với \( (x-1)(x^2+x+1) \): \[ 2(x^2 + x + 1) + (2x + 3)(x - 1) = (2x - 1)(2x + 1) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 2x^2 + 2x + 2 + 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 4x^2 - 1 \] \[ 4x^2 + 3x - 1 = 4x^2 - 1 \] Bớt \( 4x^2 - 1 \) từ cả hai vế: \[ 3x = 0 \] \[ x = 0 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = 0 \) thỏa mãn \( x \neq 1 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \). b. Điều kiện xác định: \( x \neq -\frac{3}{4}, x \neq 5 \) Phương trình đã cho: \[ \frac{x^3 - (x-1)^3}{(4x+3)(x-5)} = \frac{7x-1}{4x+3} - \frac{x}{x-5} \] Ta nhận thấy rằng \( x^3 - (x-1)^3 = 3x^2 - 3x + 1 \). Do đó, phương trình trở thành: \[ \frac{3x^2 - 3x + 1}{(4x+3)(x-5)} = \frac{7x-1}{4x+3} - \frac{x}{x-5} \] Nhân cả hai vế với \( (4x+3)(x-5) \): \[ 3x^2 - 3x + 1 = (7x-1)(x-5) - x(4x+3) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 3x^2 - 3x + 1 = 7x^2 - 35x - x + 5 - 4x^2 - 3x \] \[ 3x^2 - 3x + 1 = 3x^2 - 39x + 5 \] Bớt \( 3x^2 \) từ cả hai vế: \[ -3x + 1 = -39x + 5 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \( x \) sang một vế: \[ 36x = 4 \] \[ x = \frac{1}{9} \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = \frac{1}{9} \) thỏa mãn \( x \neq -\frac{3}{4}, x \neq 5 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{9} \). Đáp số: a. \( x = 0 \) b. \( x = \frac{1}{9} \) Bài 6. a. Điều kiện xác định: \( x \neq 1 \). Phương trình đã cho: \[ \frac{1}{x-1} + \frac{2x^2-5}{x^3-1} = \frac{4}{x^2+x+1}. \] Nhận thấy \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \), ta có thể viết lại phương trình: \[ \frac{1}{x-1} + \frac{2x^2-5}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{4}{x^2+x+1}. \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{x^2 + x + 1 + 2x^2 - 5}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{4}{x^2+x+1}. \] Rút gọn tử số: \[ \frac{3x^2 + x - 4}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{4}{x^2+x+1}. \] Nhân cả hai vế với \( (x-1)(x^2+x+1) \): \[ 3x^2 + x - 4 = 4(x-1). \] Phát triển và rút gọn: \[ 3x^2 + x - 4 = 4x - 4. \] \[ 3x^2 + x - 4 - 4x + 4 = 0. \] \[ 3x^2 - 3x = 0. \] \[ 3x(x - 1) = 0. \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1. \] Do điều kiện xác định \( x \neq 1 \), ta loại nghiệm \( x = 1 \). Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 0. \] b. Điều kiện xác định: \( x \neq 3 \), \( x \neq -3 \), \( x \neq -\frac{7}{2} \). Phương trình đã cho: \[ \frac{13}{(x-3)(2x+7)} + \frac{1}{2x+7} = \frac{6}{x^2-9}. \] Nhận thấy \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \), ta có thể viết lại phương trình: \[ \frac{13}{(x-3)(2x+7)} + \frac{1}{2x+7} = \frac{6}{(x-3)(x+3)}. \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{13 + (x-3)}{(x-3)(2x+7)} = \frac{6}{(x-3)(x+3)}. \] Rút gọn tử số: \[ \frac{x + 10}{(x-3)(2x+7)} = \frac{6}{(x-3)(x+3)}. \] Nhân cả hai vế với \( (x-3)(2x+7)(x+3) \): \[ (x + 10)(x + 3) = 6(2x + 7). \] Phát triển và rút gọn: \[ x^2 + 13x + 30 = 12x + 42. \] \[ x^2 + 13x + 30 - 12x - 42 = 0. \] \[ x^2 + x - 12 = 0. \] Phân tích phương trình bậc hai: \[ (x + 4)(x - 3) = 0. \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ x = -4 \quad \text{hoặc} \quad x = 3. \] Do điều kiện xác định \( x \neq 3 \), ta loại nghiệm \( x = 3 \). Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -4. \] Bài tập 7. a. Với $a=-3,$ ta có phương trình: $\frac{x-3}{-3-x}+\frac{x+3}{-3+x}=\frac{-3(3\times (-3)+1)}{(-3)^2-x^2}$ $\frac{x-3}{-3-x}+\frac{x+3}{-3+x}=\frac{24}{9-x^2}$ Điều kiện xác định: $x\neq \pm 3.$ Phương trình đã cho viết lại là: $\frac{x-3}{-(3+x)}+\frac{x+3}{-(3-x)}=\frac{24}{9-x^2}$ $\frac{3-x}{3+x}+\frac{x+3}{x-3}=\frac{24}{9-x^2}$ $\frac{(3-x)(x-3)+(x+3)(3+x)}{(3+x)(x-3)}=\frac{24}{9-x^2}$ $\frac{9-2x^2+9}{9-x^2}=\frac{24}{9-x^2}$ $\frac{18-2x^2}{9-x^2}=\frac{24}{9-x^2}$ $18-2x^2=24$ $2x^2=18-24$ $2x^2=-6$ (loại) Vậy phương trình vô nghiệm. b. Với $a=1,$ ta có phương trình: $\frac{x+1}{1-x}+\frac{x-1}{1+x}=\frac{1(3\times 1+1)}{1^2-x^2}$ $\frac{x+1}{1-x}+\frac{x-1}{1+x}=\frac{4}{1-x^2}$ Điều kiện xác định: $x\neq \pm 1.$ Phương trình đã cho viết lại là: $\frac{x+1}{-(x-1)}+\frac{x-1}{1+x}=\frac{4}{1-x^2}$ $\frac{x+1}{-(x-1)}+\frac{x-1}{1+x}=\frac{4}{(1+x)(1-x)}$ $\frac{(x+1)(1+x)-(x-1)(x-1)}{(1+x)(x-1)}=\frac{4}{(1+x)(1-x)}$ $\frac{x+1+x^2+1-x^2+2x-1}{(1+x)(x-1)}=\frac{4}{(1+x)(1-x)}$ $\frac{4x+1}{(1+x)(x-1)}=\frac{4}{(1+x)(1-x)}$ $4x+1=4$ $4x=4-1$ $4x=3$ $x=\frac{3}{4}$ (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{3}{4}.$ c. Với $a=0,$ ta có phương trình: $\frac{x+0}{0-x}+\frac{x-0}{0+x}=\frac{0(3\times 0+1)}{0^2-x^2}$ $\frac{x}{-x}+\frac{x}{x}=0$ $\frac{x}{-x}+1=0$ $-1+1=0$ $0=0$ (luôn đúng) Vậy phương trình có nghiệm là mọi số thực khác 0. d. Thay $x=\frac{1}{2}$ vào phương trình, ta có: $\frac{\frac{1}{2}+a}{a-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{2}-a}{a+\frac{1}{2}}=\frac{a(3a+1)}{a^2-(\frac{1}{2})^2}$ $\frac{\frac{1}{2}+a}{a-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{2}-a}{a+\frac{1}{2}}=\frac{a(3a+1)}{a^2-\frac{1}{4}}$ $\frac{\frac{1}{2}+a}{a-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{2}-a}{a+\frac{1}{2}}=\frac{a(3a+1)}{(a-\frac{1}{2})(a+\frac{1}{2})}$ $\frac{(\frac{1}{2}+a)(a+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-a)(a-\frac{1}{2})}{(a-\frac{1}{2})(a+\frac{1}{2})}=\frac{a(3a+1)}{(a-\frac{1}{2})(a+\frac{1}{2})}$ $(\frac{1}{2}+a)(a+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-a)(a-\frac{1}{2})=a(3a+1)$ $a+\frac{1}{2}+a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}+a-\frac{1}{2}-a^2+\frac{1}{2}a=\frac{3a^2}{a}+a$ $2a+\frac{1}{4}=3a+a$ $2a+\frac{1}{4}=4a$ $4a-2a=\frac{1}{4}$ $2a=\frac{1}{4}$ $a=\frac{1}{8}$ Vậy phương trình nhận $x=\frac{1}{2}$ làm nghiệm khi $a=\frac{1}{8}.$