$\lim\limits_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt[]{x^{2}+1}-1}{\sqrt[]{x^{2}+16}-4}$

Để tính giới hạn $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 16} - 4}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mỗi căn thức để loại bỏ căn thức ở mẫu. \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 16} - 4} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - 1)(\sqrt{x^2 + 1} + 1)(\sqrt{x^2 + 16} + 4)}{(\sqrt{x^2 + 16} - 4)(\sqrt{x^2 + 16} + 4)(\sqrt{x^2 + 1} + 1)} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức. \[ = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2 + 1 - 1)(\sqrt{x^2 + 16} + 4)}{(x^2 + 16 - 16)(\sqrt{x^2 + 1} + 1)} \] \[ = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2 (\sqrt{x^2 + 16} + 4)}{x^2 (\sqrt{x^2 + 1} + 1)} \] Bước 3: Rút gọn \(x^2\) ở tử và mẫu. \[ = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 1} + 1} \] Bước 4: Thay \(x = 0\) vào biểu thức đã rút gọn. \[ = \frac{\sqrt{0^2 + 16} + 4}{\sqrt{0^2 + 1} + 1} = \frac{\sqrt{16} + 4}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4 + 4}{1 + 1} = \frac{8}{2} = 4 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 16} - 4} = 4 \]