cíu em với Câu 3 (2 điểm): Hai ô tô cùng đi từ A đến B. Thời gian đi của xe thứ nhất và xe thứ hai lần,lượt là 3 giờ và 4 giờ. Biết hiệu vận tốc hai xe là 20km/giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.,Câu 4 (3 điểm): Cho hình vẽ bên.,Biết $\widehat{OAx}=30^0,\widehat{AOB}=60^0,\widehat{OBy}=150^0,$ Ot là tia,,phân giác của góc AOB.,a) Tính số đo góc AOt và BOt.,b) Chứng minh $Ax//Ot$ và $By//Ot$,Lưu ý: HS vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.,Câu 5 (0,5 điểm): Cho $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}.$ Chứng minh $\frac ab=\frac ca.$,(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).,Họ và tên: .....Lớp:.....Số báo danh:.....,-----HẾT-----

Question

cíu em với Câu 3 (2 điểm): Hai ô tô cùng đi từ A đến B. Thời gian đi của xe thứ nhất và xe thứ hai lần,lượt là 3 giờ và 4 giờ. Biết hiệu vận tốc hai xe là 20km/giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.,Câu 4 (3 điểm): Cho hình vẽ bên.,Biết $\widehat{OAx}=30^0,\widehat{AOB}=60^0,\widehat{OBy}=150^0,$ Ot là tia,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/e413c6a68171431f9fab80d80806f264.jpg />,phân giác của góc AOB.,a) Tính số đo góc AOt và BOt.,b) Chứng minh $Ax//Ot$ và $By//Ot$,Lưu ý: HS vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.,Câu 5 (0,5 điểm): Cho $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}.$ Chứng minh $\frac ab=\frac ca.$,(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).,Họ và tên: .....Lớp:.....Số báo danh:.....,-----HẾT-----

Accepted Answer

Câu 3
Gọi vận tốc của xe thứ nhất là $ v_1 $ (km/giờ) và vận tốc của xe thứ hai là $ v_2 $ (km/giờ). Ta có điều kiện $ v_1 > 0 $ và $ v_2 > 0 $.

Thời gian đi của xe thứ nhất là 3 giờ và thời gian đi của xe thứ hai là 4 giờ. Hiệu vận tốc hai xe là 20 km/giờ, tức là:
$$ v_1 - v_2 = 20 $$

Quãng đường từ A đến B là chung cho cả hai xe, ta có:
$$ v_1 \times 3 = v_2 \times 4 $$

Từ đây, ta có:
$$ 3v_1 = 4v_2 $$
$$ v_1 = \frac{4}{3}v_2 $$

Thay $ v_1 = \frac{4}{3}v_2 $ vào phương trình $ v_1 - v_2 = 20 $:
$$ \frac{4}{3}v_2 - v_2 = 20 $$
$$ \frac{4}{3}v_2 - \frac{3}{3}v_2 = 20 $$
$$ \frac{1}{3}v_2 = 20 $$
$$ v_2 = 20 \times 3 $$
$$ v_2 = 60 \text{ (km/giờ)} $$

Bây giờ, thay $ v_2 = 60 $ vào $ v_1 = \frac{4}{3}v_2 $:
$$ v_1 = \frac{4}{3} \times 60 $$
$$ v_1 = 80 \text{ (km/giờ)} $$

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 80 km/giờ và vận tốc của xe thứ hai là 60 km/giờ.

Câu 4
a) Vì Ot là tia phân giác của góc AOB nên ta có:
$$
\widehat{AOt} = \widehat{BOt} = \frac{\widehat{AOB}}{2} = \frac{60^0}{2} = 30^0
$$

b) Để chứng minh $Ax // Ot$ và $By // Ot$, ta cần kiểm tra các cặp góc so le trong hoặc đồng vị.

- Xét góc $\widehat{OAx}$ và $\widehat{AOt}$:
$$
\widehat{OAx} = 30^0 \quad \text{và} \quad \widehat{AOt} = 30^0
$$
Hai góc này bằng nhau và là các góc so le trong, do đó ta có $Ax // Ot$.

- Xét góc $\widehat{OBy}$ và $\widehat{BOt}$:
$$
\widehat{OBy} = 150^0 \quad \text{và} \quad \widehat{BOt} = 30^0
$$
Ta thấy rằng $\widehat{OBy}$ và $\widehat{BOt}$ không phải là các góc so le trong trực tiếp. Tuy nhiên, ta có thể xét góc phụ cận $\widehat{OBy}$ là:
$$
\widehat{OBy'} = 180^0 - 150^0 = 30^0
$$
Khi đó, $\widehat{OBy'}$ và $\widehat{BOt}$ là các góc so le trong và bằng nhau, do đó ta có $By // Ot$.

Vậy ta đã chứng minh được $Ax // Ot$ và $By // Ot$.

Câu 5
Để chứng minh $\frac{a}{b} = \frac{c}{a}$ từ giả thiết $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+a}{c-a}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Nhân liên hợp:
   Ta nhân liên hợp cả hai vế của phương trình để loại bỏ các phân thức phức tạp:
   $$
   \left( \frac{a+b}{a-b} \right) \times \left( \frac{a+b}{a+b} \right) = \left( \frac{c+a}{c-a} \right) \times \left( \frac{c+a}{c+a} \right)
   $$
   Điều này dẫn đến:
   $$
   \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(c+a)^2}{(c-a)(c+a)}
   $$

2. Rút gọn:
   Rút gọn các biểu thức ở mẫu số:
   $$
   \frac{(a+b)^2}{a^2 - b^2} = \frac{(c+a)^2}{c^2 - a^2}
   $$

3. Phương pháp tỷ lệ:
   Vì hai phân số bằng nhau, ta có thể viết:
   $$
   \frac{(a+b)^2}{a^2 - b^2} = \frac{(c+a)^2}{c^2 - a^2}
   $$
   Điều này có nghĩa là:
   $$
   (a+b)^2 \cdot (c^2 - a^2) = (c+a)^2 \cdot (a^2 - b^2)
   $$

4. Phân tích và rút gọn:
   Ta mở rộng các bình phương:
   $$
   (a^2 + 2ab + b^2) \cdot (c^2 - a^2) = (c^2 + 2ca + a^2) \cdot (a^2 - b^2)
   $$
   Ta thấy rằng các biểu thức này khá phức tạp để tiếp tục giải trực tiếp. Do đó, ta sẽ áp dụng phương pháp tỷ lệ trực tiếp.

5. Áp dụng tính chất tỷ lệ:
   Ta có:
   $$
   \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+a}{c-a}
   $$
   Theo tính chất tỷ lệ, ta có thể viết:
   $$
   \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+a}{c-a} \implies \frac{a+b}{c+a} = \frac{a-b}{c-a}
   $$
   Điều này có nghĩa là:
   $$
   \frac{a+b}{c+a} = \frac{a-b}{c-a}
   $$

6. Tìm tỷ số:
   Ta thấy rằng nếu ta đặt:
   $$
   \frac{a+b}{c+a} = k \quad \text{và} \quad \frac{a-b}{c-a} = k
   $$
   Thì ta có:
   $$
   a+b = k(c+a) \quad \text{và} \quad a-b = k(c-a)
   $$

7. Giải hệ phương trình:
   Ta có hai phương trình:
   $$
   a + b = kc + ka \quad \text{và} \quad a - b = kc - ka
   $$
   Cộng hai phương trình này lại:
   $$
   (a + b) + (a - b) = kc + ka + kc - ka
   $$
   Điều này dẫn đến:
   $$
   2a = 2kc \implies a = kc
   $$
   Thay vào phương trình đầu tiên:
   $$
   kc + b = kc + ka \implies b = ka
   $$

8. Kết luận:
   Ta đã tìm được:
   $$
   a = kc \quad \text{và} \quad b = ka
   $$
   Điều này có nghĩa là:
   $$
   \frac{a}{b} = \frac{kc}{ka} = \frac{c}{a}
   $$

Vậy ta đã chứng minh được $\frac{a}{b} = \frac{c}{a}$.