Giải giup e voi ạ

Câu 8. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào đúng. A. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SB}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{AB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BA}$ Nhưng $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{SB}$, vì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SB}$. B. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{AB}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{SB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Nhưng $\overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{AB}$, vì $\overrightarrow{BA}$ ngược chiều với $\overrightarrow{AB}$. C. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{SB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Đúng, vì $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$. D. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SC}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{SB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Nhưng $\overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{SC}$, vì $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{SC}$ không cùng đường thẳng. Vậy mệnh đề đúng là: C. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Câu 9. Trước tiên, ta sẽ phân tích từng mệnh đề để xác định mệnh đề đúng. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{AC}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ là vectơ từ A' đến D'. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{BD}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ là vectơ từ A' đến D'. - $\overrightarrow{BD}$ là vectơ từ B đến D. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{AC^\prime}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ là vectơ từ A' đến D'. - $\overrightarrow{AC^\prime}$ là vectơ từ A đến C'. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{CA}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ là vectơ từ A' đến D'. - $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ C đến A. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: - Mệnh đề A: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{AC}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ không liên quan trực tiếp đến $\overrightarrow{AC}$, nên mệnh đề này sai. - Mệnh đề B: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{BD}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ không liên quan trực tiếp đến $\overrightarrow{BD}$, nên mệnh đề này sai. - Mệnh đề C: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{AC^\prime}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ từ A đến B và $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ từ A' đến D', khi cộng lại sẽ tạo thành vectơ từ A đến C', nên mệnh đề này đúng. - Mệnh đề D: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{CA}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ không liên quan trực tiếp đến $\overrightarrow{CA}$, nên mệnh đề này sai. Vậy mệnh đề đúng là: C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{AC^\prime}$ Câu 10. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điều này có nghĩa là O là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD. Ta sẽ tính tổng các vectơ $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$. Bước 1: Ta viết lại các vectơ theo O: - $\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}$ - $\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}$ - $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}$ - $\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD}$ Bước 2: Thay vào tổng: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD}) \] Bước 3: Gom các vectơ giống nhau: \[ = 4\overrightarrow{SO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] Bước 4: Vì O là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD, nên ta có: - $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ (vì O là trung điểm của AC) - $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ (vì O là trung điểm của BD) Do đó: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Bước 5: Thay vào kết quả: \[ 4\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{0} = 4\overrightarrow{SO} \] Vậy tổng $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}$. Đáp án đúng là: B. $4\overrightarrow{SO}$ Câu 11. Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$ bằng: A. $\overrightarrow{0}$ B. $2\overrightarrow{AD}$ C. $2\overrightarrow{NM}$ D. $2\overrightarrow{MN}$ Lập luận từng bước: - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NC}$ - Vì M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MD}$. - Vì N là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC}$. - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{NM}$ Vậy đáp án đúng là: C. $2\overrightarrow{NM}$ Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tính tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'C'}$: A. $2\overrightarrow{AA'}$ B. $\overrightarrow{0}$ C. $2\overrightarrow{AC}$ D. $2\overrightarrow{C'A'}$ Lập luận từng bước: - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'C'}$ - Vì trong hình hộp, $\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AC}$ (do A'C' song song và bằng AC) - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AC}$ Vậy đáp án đúng là: C. $2\overrightarrow{AC}$ Câu 13. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh AB và AD là hai cạnh kề nhau của mặt đáy ABCD. Vì vậy, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ chính là góc giữa hai cạnh kề nhau của một hình vuông. Bước 1: Xác định góc giữa hai vectơ. - Trong hình lập phương, các cạnh kề nhau tạo thành góc vuông 90°. Bước 2: Kết luận. - Góc giữa vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{AD}$ là 90°. Vậy đáp án đúng là: A. $90^0$ Đáp số: A. $90^0$ Câu 14. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong lăng trụ đứng ABC.A'B'C', đáy là tam giác ABC vuông tại B. Điều này có nghĩa là góc ABC = 90°. Do lăng trụ đứng, các cạnh bên AA', BB', CC' đều vuông góc với đáy ABC. Do đó, tam giác ABB' và tam giác CBC' đều là tam giác vuông tại B và B'. Ta xét vectơ $\overrightarrow{BA}$ và vectơ $\overrightarrow{B'C'}$. Vì lăng trụ đứng, ta có: - $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC}$ - $\overrightarrow{BA}$ nằm trên mặt đáy ABC. Do tam giác ABC vuông tại B, ta có góc giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ là 90°. Vì $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC}$, nên góc giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{B'C'}$ cũng là 90°. Vậy, góc giữa vectơ $\overrightarrow{BA}$ và vectơ $\overrightarrow{B'C'}$ là 90°. Đáp án đúng là: C. 90° Câu 15. Câu hỏi 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ nào dưới đây? A. $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ B. $\overrightarrow{BA}$ C. $\overrightarrow{CD}$ D. $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$ Lời giải: Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', ta thấy rằng: - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh B. - $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ là vectơ chỉ từ đỉnh D' đến đỉnh C'. - $\overrightarrow{BA}$ là vectơ chỉ từ đỉnh B đến đỉnh A. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh C đến đỉnh D. - $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$ là vectơ chỉ từ đỉnh B' đến đỉnh A'. Do tính chất của hình hộp chữ nhật, ta nhận thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ là hai vectơ song song và cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D^\prime C^\prime}$. Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ Câu hỏi 2: Cho hình lăng trụ tam giác BCA'B'C với $\overrightarrow{AA^\prime}=\overrightarrow a$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow c$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow d$. Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng? A. $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow d$ B. $\overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c$ C. $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0$ D. $\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0$ Lời giải: Ta xét từng biểu thức véctơ: - Biểu thức A: $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow d$ Ta có $\overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$. Điều này không đúng vì $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ chỉ chiều cao của lăng trụ, còn $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ nằm trong mặt đáy. - Biểu thức B: $\overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c$ Ta có $\overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. Điều này không đúng vì $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ chỉ chiều cao của lăng trụ, còn $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ nằm trong mặt đáy. - Biểu thức C: $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0$ Ta có $\overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow 0$. Điều này không đúng vì tổng của các vectơ này không phải là vectơ null. - Biểu thức D: $\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0$ Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow 0$. Điều này đúng vì $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow 0$. Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0$ Câu 17. Để tìm giá trị của \( k \) trong đẳng thức \(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{B'D'} = k\overrightarrow{BB'}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ: - \(\overrightarrow{BD}\) là vectơ từ điểm \( B \) đến điểm \( D \). - \(\overrightarrow{D'D}\) là vectơ từ điểm \( D' \) đến điểm \( D \). - \(\overrightarrow{B'D'}\) là vectơ từ điểm \( B' \) đến điểm \( D' \). - \(\overrightarrow{BB'}\) là vectơ từ điểm \( B \) đến điểm \( B' \). 2. Tính toán từng vectơ: - \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}\) - \(\overrightarrow{D'D} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{D'}\) - \(\overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{D'} - \overrightarrow{B'}\) 3. Thay vào đẳng thức: \[ \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{B'D'} = (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}) - (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{D'}) - (\overrightarrow{D'} - \overrightarrow{B'}) \] 4. Rút gọn biểu thức: \[ \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D} + \overrightarrow{D'} - \overrightarrow{D'} + \overrightarrow{B'} \] \[ = -\overrightarrow{B} + \overrightarrow{B'} \] \[ = \overrightarrow{B'} - \overrightarrow{B} \] \[ = \overrightarrow{BB'} \] 5. So sánh với \( k\overrightarrow{BB'} \): \[ \overrightarrow{BB'} = k\overrightarrow{BB'} \] 6. Tìm giá trị của \( k \): \[ k = 1 \] Vậy giá trị của \( k \) là \( 1 \). Đáp án đúng là: B. \( k = 1 \) Câu 18. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để xác định đẳng thức nào là sai. A. $\overrightarrow{n} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{n}$ là vectơ chỉ từ I đến J, trong đó I là trung điểm của AB và J là trung điểm của CD. - Do đó, $\overrightarrow{n}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ chia đôi. Vì vậy, đẳng thức này có thể sai. B. $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{IJ}$ là vectơ chỉ từ I đến J, trong đó I là trung điểm của AB và J là trung điểm của CD. - Theo tính chất của trung điểm và vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) \] - Vậy đẳng thức này đúng. C. $\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BD})$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{m}$ là vectơ chỉ từ I đến J, trong đó I là trung điểm của AB và J là trung điểm của CD. - Tuy nhiên, $\overrightarrow{m}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BD}$ chia đôi. Vì vậy, đẳng thức này có thể sai. D. $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BD})$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{IJ}$ là vectơ chỉ từ I đến J, trong đó I là trung điểm của AB và J là trung điểm của CD. - Tuy nhiên, $\overrightarrow{IJ}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BD}$ chia đôi. Vì vậy, đẳng thức này có thể sai. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng đẳng thức D là sai vì $\overrightarrow{IJ}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BD}$ chia đôi. Đáp án: D. $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BD})$