Mọi người giải giúp em với...

Câu 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn: \[ 5(x^2 - 6xy + 7y^2 + 1) \text{ là số chính phương} \] Giải: Gọi \( 5(x^2 - 6xy + 7y^2 + 1) = k^2 \) với \( k \) là số nguyên. Ta có: \[ x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 = \frac{k^2}{5} \] Do \( x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 \) là số nguyên, nên \( \frac{k^2}{5} \) cũng phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( k^2 \) chia hết cho 5, tức là \( k \) chia hết cho 5. Gọi \( k = 5m \) với \( m \) là số nguyên. Thay vào ta có: \[ x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 = 5m^2 \] Rearrange lại phương trình: \[ x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 - 5m^2 = 0 \] Để tìm các cặp số nguyên \((x, y)\), ta xét các trường hợp \( m = 0 \) và \( m \neq 0 \): 1. Trường hợp \( m = 0 \): \[ x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 = 0 \] Ta thử các giá trị \( x \) và \( y \): - \( x = 0 \): \( 7y^2 + 1 = 0 \) (không có nghiệm nguyên) - \( y = 0 \): \( x^2 + 1 = 0 \) (không có nghiệm nguyên) 2. Trường hợp \( m \neq 0 \): \[ x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 = 5m^2 \] Ta thử các giá trị \( m \): - \( m = 1 \): \( x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 = 5 \) \[ x^2 - 6xy + 7y^2 = 4 \] Thử các giá trị \( x \) và \( y \): - \( x = 2 \), \( y = 0 \): \( 4 - 0 + 0 = 4 \) (thỏa mãn) - \( x = -2 \), \( y = 0 \): \( 4 - 0 + 0 = 4 \) (thỏa mãn) - \( x = 0 \), \( y = 1 \): \( 0 - 0 + 7 = 7 \) (không thỏa mãn) - \( x = 0 \), \( y = -1 \): \( 0 - 0 + 7 = 7 \) (không thỏa mãn) - \( m = -1 \): \( x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 = 5 \) \[ x^2 - 6xy + 7y^2 = 4 \] Thử các giá trị \( x \) và \( y \): - \( x = 2 \), \( y = 0 \): \( 4 - 0 + 0 = 4 \) (thỏa mãn) - \( x = -2 \), \( y = 0 \): \( 4 - 0 + 0 = 4 \) (thỏa mãn) - \( x = 0 \), \( y = 1 \): \( 0 - 0 + 7 = 7 \) (không thỏa mãn) - \( x = 0 \), \( y = -1 \): \( 0 - 0 + 7 = 7 \) (không thỏa mãn) Vậy các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là: \[ (2, 0), (-2, 0) \] Câu 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn: \[ 2(x^2 + xy + 7y + 1) \text{ là số chính phương} \] Giải: Gọi \( 2(x^2 + xy + 7y + 1) = k^2 \) với \( k \) là số nguyên. Ta có: \[ x^2 + xy + 7y + 1 = \frac{k^2}{2} \] Do \( x^2 + xy + 7y + 1 \) là số nguyên, nên \( \frac{k^2}{2} \) cũng phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( k^2 \) chia hết cho 2, tức là \( k \) chẵn. Gọi \( k = 2m \) với \( m \) là số nguyên. Thay vào ta có: \[ x^2 + xy + 7y + 1 = 2m^2 \] Rearrange lại phương trình: \[ x^2 + xy + 7y + 1 - 2m^2 = 0 \] Để tìm các cặp số nguyên \((x, y)\), ta xét các trường hợp \( m = 0 \) và \( m \neq 0 \): 1. Trường hợp \( m = 0 \): \[ x^2 + xy + 7y + 1 = 0 \] Ta thử các giá trị \( x \) và \( y \): - \( x = 0 \): \( 7y + 1 = 0 \) (không có nghiệm nguyên) - \( y = 0 \): \( x^2 + 1 = 0 \) (không có nghiệm nguyên) 2. Trường hợp \( m \neq 0 \): \[ x^2 + xy + 7y + 1 = 2m^2 \] Ta thử các giá trị \( m \): - \( m = 1 \): \( x^2 + xy + 7y + 1 = 2 \) \[ x^2 + xy + 7y = 1 \] Thử các giá trị \( x \) và \( y \): - \( x = 1 \), \( y = 0 \): \( 1 + 0 + 0 = 1 \) (thỏa mãn) - \( x = -1 \), \( y = 0 \): \( 1 - 0 + 0 = 1 \) (thỏa mãn) - \( x = 0 \), \( y = 1 \): \( 0 + 0 + 7 = 7 \) (không thỏa mãn) - \( x = 0 \), \( y = -1 \): \( 0 + 0 - 7 = -7 \) (không thỏa mãn) - \( m = -1 \): \( x^2 + xy + 7y + 1 = 2 \) \[ x^2 + xy + 7y = 1 \] Thử các giá trị \( x \) và \( y \): - \( x = 1 \), \( y = 0 \): \( 1 + 0 + 0 = 1 \) (thỏa mãn) - \( x = -1 \), \( y = 0 \): \( 1 - 0 + 0 = 1 \) (thỏa mãn) - \( x = 0 \), \( y = 1 \): \( 0 + 0 + 7 = 7 \) (không thỏa mãn) - \( x = 0 \), \( y = -1 \): \( 0 + 0 - 7 = -7 \) (không thỏa mãn) Vậy các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là: \[ (1, 0), (-1, 0) \]