Giải thích và giải đáp án

Câu 1: Để tính diện tích phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(x = -1\), \(x = 2\), \(y = 0\) và \(y = x^2 - 2x\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Các đường thẳng \(x = -1\) và \(x = 2\) xác định khoảng tích phân từ \(x = -1\) đến \(x = 2\). 2. Tìm giao điểm của các đường: - Đường \(y = x^2 - 2x\) cắt trục \(Ox\) tại các điểm \(x = 0\) và \(x = 2\) (vì \(x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\)). 3. Tính diện tích: - Diện tích phẳng giới hạn bởi các đường trên là tích phân của hàm số \(y = x^2 - 2x\) từ \(x = -1\) đến \(x = 2\). \[ S = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x) \, dx \] 4. Tính tích phân: - Tính tích phân từng phần: \[ \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^{2} \] - Thay cận vào: \[ \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 \right) \] \[ = \left( \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) \] \[ = \left( \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) \] \[ = \left( -\frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{4}{3} \right) \] \[ = -\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0 \] Do đó, diện tích phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(x = -1\), \(x = 2\), \(y = 0\) và \(y = x^2 - 2x\) là 0. Đáp án: C. 0 Câu 3: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x \) và \( y = x^2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường: - Giải phương trình \( x = x^2 \): \[ x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] - Vậy hai đường giao nhau tại điểm \( (0, 0) \) và \( (1, 1) \). 2. Xác định khoảng tích phân: - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). 3. Tính diện tích bằng tích phân: - Diện tích \( S \) giữa hai đường \( y = x \) và \( y = x^2 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \) được tính bằng công thức: \[ S = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \] 4. Tính tích phân: - Tính tích phân từng phần: \[ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] \[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \] - Kết hợp lại: \[ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi \( y = x \) và \( y = x^2 \) là \( \frac{1}{6} \). Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{6}$ Câu 7: Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường $y = x^2 - 3x$ và $y = x$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường: Ta giải phương trình: \[ x^2 - 3x = x \] \[ x^2 - 4x = 0 \] \[ x(x - 4) = 0 \] Vậy, các giao điểm là $x = 0$ và $x = 4$. 2. Xác định khoảng tích phân: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường từ $x = 0$ đến $x = 4$. 3. Tính diện tích: Diện tích $A$ giữa hai đường từ $x = 0$ đến $x = 4$ được tính bằng công thức: \[ A = \int_{0}^{4} \left| (x) - (x^2 - 3x) \right| \, dx \] Vì trên đoạn $[0, 4]$, ta có $x \geq x^2 - 3x$, nên: \[ A = \int_{0}^{4} \left( x - (x^2 - 3x) \right) \, dx \] \[ A = \int_{0}^{4} (x - x^2 + 3x) \, dx \] \[ A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx \] \[ A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \] \[ A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right) \] \[ A = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 \] \[ A = 32 - \frac{64}{3} \] \[ A = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} \] \[ A = \frac{32}{3} \] Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường $y = x^2 - 3x$ và $y = x$ là $\frac{32}{3}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{32}{3}$ Câu 8: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \( y = x^2 + 2x \) và \( y = x + 6 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường cong: Ta giải phương trình: \[ x^2 + 2x = x + 6 \] \[ x^2 + 2x - x - 6 = 0 \] \[ x^2 + x - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = -3 \] 2. Xác định khoảng tích phân: Các giao điểm là \( x = -3 \) và \( x = 2 \). Do đó, ta sẽ tính diện tích từ \( x = -3 \) đến \( x = 2 \). 3. Tính diện tích bằng tích phân: Diện tích \( S \) giữa hai đường cong từ \( x = -3 \) đến \( x = 2 \) được tính bằng công thức: \[ S = \int_{-3}^{2} \left[ (x + 6) - (x^2 + 2x) \right] \, dx \] \[ S = \int_{-3}^{2} \left( x + 6 - x^2 - 2x \right) \, dx \] \[ S = \int_{-3}^{2} \left( -x^2 - x + 6 \right) \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-3}^{2} \] Tính tại \( x = 2 \): \[ -\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 6 \cdot 2 = -\frac{8}{3} - 2 + 12 = -\frac{8}{3} + 10 = \frac{22}{3} \] Tính tại \( x = -3 \): \[ -\frac{(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^2}{2} + 6 \cdot (-3) = \frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 18 = 9 - \frac{9}{2} - 18 = 9 - 4.5 - 18 = -13.5 \] Kết quả tích phân: \[ S = \frac{22}{3} - (-13.5) = \frac{22}{3} + \frac{27}{2} = \frac{44}{6} + \frac{81}{6} = \frac{125}{6} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \( y = x^2 + 2x \) và \( y = x + 6 \) là \( \frac{125}{6} \). Đáp án đúng là: C. \( \frac{125}{6} \) Câu 9: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^3 - 3x \), \( y = x \), \( x = -2 \), và \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường \( y = x^3 - 3x \) và \( y = x \): \[ x^3 - 3x = x \\ x^3 - 4x = 0 \\ x(x^2 - 4) = 0 \\ x(x - 2)(x + 2) = 0 \\ x = 0, x = 2, x = -2 \] 2. Xác định khoảng tích phân: Các giao điểm là \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). Ta sẽ chia thành hai khoảng tích phân từ \( x = -2 \) đến \( x = 0 \) và từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). 3. Tính diện tích: Diện tích \( S \) được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hai hàm số từ \( x = -2 \) đến \( x = 0 \) và từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): \[ S = \int_{-2}^{0} |(x^3 - 3x) - x| \, dx + \int_{0}^{2} |(x^3 - 3x) - x| \, dx \] Vì \( x^3 - 3x < x \) trên khoảng \( [-2, 0] \) và \( x^3 - 3x > x \) trên khoảng \( [0, 2] \), ta có: \[ S = \int_{-2}^{0} (x - (x^3 - 3x)) \, dx + \int_{0}^{2} ((x^3 - 3x) - x) \, dx \] \[ S = \int_{-2}^{0} (4x - x^3) \, dx + \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \] 4. Tính từng tích phân: \[ \int_{-2}^{0} (4x - x^3) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} \] \[ = \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^4}{4} \right) - \left( 2(-2)^2 - \frac{(-2)^4}{4} \right) \] \[ = 0 - \left( 2(4) - \frac{16}{4} \right) \] \[ = 0 - (8 - 4) = -4 \] Vì diện tích là giá trị tuyệt đối, ta có: \[ \left| \int_{-2}^{0} (4x - x^3) \, dx \right| = 4 \] \[ \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{0}^{2} \] \[ = \left( \frac{(2)^4}{4} - 2(2)^2 \right) - \left( \frac{(0)^4}{4} - 2(0)^2 \right) \] \[ = \left( \frac{16}{4} - 8 \right) - 0 \] \[ = 4 - 8 = -4 \] Vì diện tích là giá trị tuyệt đối, ta có: \[ \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right| = 4 \] 5. Tổng diện tích: \[ S = 4 + 4 = 8 \] Vậy diện tích \( S \) là 8. Đáp án đúng là: B. 8 Câu 11: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^3 \), \( y = 4x \), \( x = 0 \), và \( x = 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường \( y = x^3 \) và \( y = 4x \): \[ x^3 = 4x \] \[ x^3 - 4x = 0 \] \[ x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Vậy các giao điểm là \( x = 0 \), \( x = 2 \), và \( x = -2 \). Tuy nhiên, trong khoảng từ \( x = 0 \) đến \( x = 3 \), chúng ta chỉ quan tâm đến giao điểm \( x = 0 \) và \( x = 2 \). 2. Tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^3 \), \( y = 4x \), \( x = 0 \), và \( x = 3 \) có thể được chia thành hai phần: - Phần từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \), diện tích giữa \( y = 4x \) và \( y = x^3 \). - Phần từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \), diện tích giữa \( y = x^3 \) và \( y = 4x \). Ta tính diện tích từng phần riêng lẻ rồi cộng lại. Phần từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): \[ S_1 = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx \] \[ S_1 = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} \] \[ S_1 = \left( 2(2)^2 - \frac{(2)^4}{4} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^4}{4} \right) \] \[ S_1 = \left( 8 - 4 \right) - 0 \] \[ S_1 = 4 \] Phần từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \): \[ S_2 = \int_{2}^{3} (x^3 - 4x) \, dx \] \[ S_2 = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{2}^{3} \] \[ S_2 = \left( \frac{(3)^4}{4} - 2(3)^2 \right) - \left( \frac{(2)^4}{4} - 2(2)^2 \right) \] \[ S_2 = \left( \frac{81}{4} - 18 \right) - \left( 4 - 8 \right) \] \[ S_2 = \left( \frac{81}{4} - \frac{72}{4} \right) - (-4) \] \[ S_2 = \left( \frac{9}{4} \right) + 4 \] \[ S_2 = \frac{9}{4} + \frac{16}{4} \] \[ S_2 = \frac{25}{4} \] Tổng diện tích: \[ S = S_1 + S_2 \] \[ S = 4 + \frac{25}{4} \] \[ S = \frac{16}{4} + \frac{25}{4} \] \[ S = \frac{41}{4} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi \( y = x^3 \), \( y = 4x \), \( x = 0 \), và \( x = 3 \) là \( \frac{41}{4} \). Do đó, đáp án đúng là: D. 8. Câu 13: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 \), \( y = 4x^2 \), và \( y = 4 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm giao: - Giao giữa \( y = x^2 \) và \( y = 4 \): \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] - Giao giữa \( y = 4x^2 \) và \( y = 4 \): \[ 4x^2 = 4 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] 2. Phân chia miền tích phân: - Từ \( x = -2 \) đến \( x = -1 \), miền giới hạn bởi \( y = 4 \) và \( y = x^2 \). - Từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \), miền giới hạn bởi \( y = 4 \) và \( y = 4x^2 \). - Từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \), miền giới hạn bởi \( y = 4 \) và \( y = x^2 \). 3. Tính diện tích từng phần: - Diện tích từ \( x = -2 \) đến \( x = -1 \): \[ S_1 = \int_{-2}^{-1} (4 - x^2) \, dx \] - Diện tích từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \): \[ S_2 = \int_{-1}^{1} (4 - 4x^2) \, dx \] - Diện tích từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \): \[ S_3 = \int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx \] 4. Tính từng tích phân: - Tích phân \( S_1 \): \[ S_1 = \int_{-2}^{-1} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{-1} \] \[ = \left( 4(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \] \[ = \left( -4 + \frac{1}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \] \[ = -4 + \frac{1}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 4 - \frac{7}{3} = \frac{12}{3} - \frac{7}{3} = \frac{5}{3} \] - Tích phân \( S_2 \): \[ S_2 = \int_{-1}^{1} (4 - 4x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{4x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \] \[ = \left( 4(1) - \frac{4(1)^3}{3} \right) - \left( 4(-1) - \frac{4(-1)^3}{3} \right) \] \[ = \left( 4 - \frac{4}{3} \right) - \left( -4 + \frac{4}{3} \right) \] \[ = 4 - \frac{4}{3} + 4 - \frac{4}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] - Tích phân \( S_3 \): \[ S_3 = \int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \] \[ = \left( 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right) - \left( 4(1) - \frac{(1)^3}{3} \right) \] \[ = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( 4 - \frac{1}{3} \right) \] \[ = 8 - \frac{8}{3} - 4 + \frac{1}{3} = 4 - \frac{7}{3} = \frac{12}{3} - \frac{7}{3} = \frac{5}{3} \] 5. Tổng diện tích: \[ S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{5}{3} + \frac{16}{3} + \frac{5}{3} = \frac{26}{3} \] Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 \), \( y = 4x^2 \), và \( y = 4 \) là \( \frac{26}{3} \). Tuy nhiên, đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho là \( \frac{8}{3} \). Đáp án: D. \( \frac{8}{3} \) Câu 17: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \( y = x^2 \) và đường thẳng \( y = 3x - 2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: Ta giải phương trình: \[ x^2 = 3x - 2 \] \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Vậy các giao điểm là \( x = 1 \) và \( x = 2 \). 2. Xác định khoảng tích phân: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \). 3. Tính diện tích: Diện tích \( S \) được tính bằng công thức: \[ S = \int_{1}^{2} [(3x - 2) - x^2] \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ S = \int_{1}^{2} (3x - 2 - x^2) \, dx \] \[ S = \left[ \frac{3x^2}{2} - 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \] Tính giá trị tại các cận: \[ \left( \frac{3 \cdot 2^2}{2} - 2 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{3 \cdot 1^2}{2} - 2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{12}{2} - 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3}{2} - 2 - \frac{1}{3} \right) \] \[ = \left( 6 - 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3}{2} - 2 - \frac{1}{3} \right) \] \[ = \left( 2 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3}{2} - 2 - \frac{1}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{6}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{9}{6} - \frac{12}{6} - \frac{2}{6} \right) \] \[ = \left( -\frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{5}{6} \right) \] \[ = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} \] \[ = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} \] \[ = \frac{1}{6} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \( y = x^2 \) và đường thẳng \( y = 3x - 2 \) là \( \frac{1}{6} \). Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{6}$ Câu 20: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + x + 2 \) và \( y = 2x + 4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường cong: Ta giải phương trình: \[ x^2 + x + 2 = 2x + 4 \] \[ x^2 + x + 2 - 2x - 4 = 0 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \] Vậy ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = -1 \] 2. Tính diện tích hình phẳng: Diện tích \( S \) giữa hai đường cong từ \( x = -1 \) đến \( x = 2 \) được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{-1}^{2} [(2x + 4) - (x^2 + x + 2)] \, dx \] \[ S = \int_{-1}^{2} (2x + 4 - x^2 - x - 2) \, dx \] \[ S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx \] 3. Tính tích phân: \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} \] Tính tại \( x = 2 \): \[ -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{10}{3} \] Tính tại \( x = -1 \): \[ -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} = -\frac{7}{6} \] Diện tích \( S \) là: \[ S = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + x + 2 \) và \( y = 2x + 4 \) là \( \frac{9}{2} \). Đáp án đúng là: C. $\frac{9}{2}$ Câu 24: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 \) và đường thẳng \( y = 2x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: Ta giải phương trình: \[ x^2 = 2x \] \[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = 2 \] 2. Xác định khoảng tích phân: Các giao điểm là \( x = 0 \) và \( x = 2 \). Do đó, ta sẽ tính diện tích từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). 3. Tính diện tích bằng cách lấy tích phân: Diện tích \( S \) giữa hai đồ thị từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \) được tính bằng công thức: \[ S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx \] 4. Tính tích phân: Ta tính từng phần của tích phân: \[ \int_{0}^{2} 2x \, dx = 2 \int_{0}^{2} x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = 2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2 \times 2 = 4 \] \[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \] Kết hợp lại: \[ S = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 \) và đường thẳng \( y = 2x \) là \( \frac{4}{3} \). Đáp án đúng là: D. \( \frac{4}{3} \) Câu 26: Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường \( y = x^3 - 4x^2 + 3x - 1 \) và \( y = -2x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường Ta giải phương trình: \[ x^3 - 4x^2 + 3x - 1 = -2x + 1 \] \[ x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị \( x \): - \( x = 1 \): \[ 1^3 - 4(1)^2 + 5(1) - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0 \] Vậy \( x = 1 \) là nghiệm của phương trình. Phương trình có dạng: \[ (x - 1)(x^2 - 3x + 2) = 0 \] Giải phương trình bậc hai \( x^2 - 3x + 2 = 0 \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Vậy các giao điểm là \( x = 1 \) và \( x = 2 \). Bước 2: Tính diện tích hình phẳng Diện tích \( S \) được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{1}^{2} \left[ (-2x + 1) - (x^3 - 4x^2 + 3x - 1) \right] dx \] \[ S = \int_{1}^{2} \left( -2x + 1 - x^3 + 4x^2 - 3x + 1 \right) dx \] \[ S = \int_{1}^{2} \left( -x^3 + 4x^2 - 5x + 2 \right) dx \] Tính tích phân từng phần: \[ S = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 2x \right]_{1}^{2} \] Thay cận vào: \[ S = \left( -\frac{2^4}{4} + \frac{4 \cdot 2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{1^4}{4} + \frac{4 \cdot 1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) \] \[ S = \left( -4 + \frac{32}{3} - 10 + 4 \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2 \right) \] \[ S = \left( -4 + \frac{32}{3} - 10 + 4 \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2 \right) \] \[ S = \left( -10 + \frac{32}{3} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2 \right) \] \[ S = \left( -10 + \frac{32}{3} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2 \right) \] \[ S = \left( -10 + \frac{32}{3} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2 \right) \] \[ S = \left( -10 + \frac{32}{3} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2 \right) \] \[ S = \left( -10 + \frac{32}{3} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2 \right) \] \[ S = \left( -10 + \frac{32}{3} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2 \right) \] Sau khi tính toán, ta có: \[ S = \frac{1}{12} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{12}} \] Câu 28: Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - 2x \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm giao và khoảng tích phân: - Phương trình \( y = x^2 - 2x \) cắt trục hoành tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = 2 \) (vì \( x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \)). - Do đó, ta sẽ tính diện tích từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \) và từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). 2. Tính diện tích từng phần: - Từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \): \[ S_1 = \int_{-1}^{0} (x^2 - 2x) \, dx \] Tính tích phân: \[ S_1 = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^{0} \] Thay cận: \[ S_1 = \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 \right) \] \[ S_1 = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) \] \[ S_1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \] - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): \[ S_2 = \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \, dx \] Tính tích phân: \[ S_2 = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^{2} \] Thay cận: \[ S_2 = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 \right) \] \[ S_2 = \left( \frac{8}{3} - 4 \right) - 0 \] \[ S_2 = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3} \] Vì diện tích là giá trị tuyệt đối, nên ta lấy \( |S_2| = \frac{4}{3} \). 3. Tổng diện tích: \[ S = S_1 + |S_2| = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \] Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - 2x \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 2 \) là \( \frac{8}{3} \). Đáp án đúng là: A. \( \frac{8}{3} \).