Cứu tui mn ơi

Câu 4. a) Ta có: \[ \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{JG} = \overrightarrow{0} \] Điều này đúng vì G là trung điểm của IJ, do đó \(\overrightarrow{GI}\) và \(\overrightarrow{JG}\) là hai vectơ ngược hướng và có cùng độ dài. b) Ta có: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{IJ} \] Ta chứng minh như sau: - Vì I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\). - Vì J là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{JD}\). Do đó: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} \] \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{JD} \] Tổng lại: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}) + (\overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{JD}) \] Vì \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\) và \(\overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{JD}\), ta có: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{JD} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{JD} = 2(\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{JD}) \] Nhưng \(\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{JD} = \overrightarrow{IJ}\), do đó: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{IJ} \] c) Ta có: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] Ta chứng minh như sau: - Vì G là trung điểm của IJ, ta có \(\overrightarrow{GI} = -\overrightarrow{GJ}\). - Ta cũng có \(\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB}\) và \(\overrightarrow{JC} = -\overrightarrow{JD}\). Do đó: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = (\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{GJ} + \overrightarrow{JC}) + (\overrightarrow{GJ} + \overrightarrow{JD}) \] Nhưng \(\overrightarrow{GI} = -\overrightarrow{GJ}\), do đó: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = (-\overrightarrow{GJ} + \overrightarrow{IA}) + (-\overrightarrow{GJ} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{GJ} + \overrightarrow{JC}) + (\overrightarrow{GJ} + \overrightarrow{JD}) \] Nhưng \(\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB}\) và \(\overrightarrow{JC} = -\overrightarrow{JD}\), do đó: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] d) Ta có: \[ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| \text{ nhỏ nhất khi } M \equiv G \] Ta chứng minh như sau: - Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD, ta có: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] Do đó: \[ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = |(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GD})| \] Nhưng \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}\), do đó: \[ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = |4\overrightarrow{MG}| \] Để \(|4\overrightarrow{MG}|\) nhỏ nhất thì \(\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{0}\), tức là \(M \equiv G\). Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của đạo hàm \( y = f'(x) \) để suy ra các tính chất của hàm số \( y = f(x) \). 1. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \): - Khi \( f'(x) > 0 \), hàm số \( y = f(x) \) là hàm số đồng biến. - Khi \( f'(x) < 0 \), hàm số \( y = f(x) \) là hàm số nghịch biến. Từ đồ thị của \( y = f'(x) \): - \( f'(x) > 0 \) trên các khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (0, 2) \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng này. - \( f'(x) < 0 \) trên các khoảng \( (-2, 0) \) và \( (2, +\infty) \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên các khoảng này. 2. Xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \): - Điểm cực đại xảy ra khi \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm. - Điểm cực tiểu xảy ra khi \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương. Từ đồ thị của \( y = f'(x) \): - \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) đạt cực đại tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \). - \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = 0 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 0 \). 3. Tóm tắt kết quả: - Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (0, 2) \). - Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên các khoảng \( (-2, 0) \) và \( (2, +\infty) \). - Hàm số \( y = f(x) \) đạt cực đại tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \). - Hàm số \( y = f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 0 \). Đáp số: - Đồng biến: \( (-\infty, -2) \) và \( (0, 2) \) - Nghịch biến: \( (-2, 0) \) và \( (2, +\infty) \) - Cực đại: \( x = -2 \) và \( x = 2 \) - Cực tiểu: \( x = 0 \)