Đề bài là phân biệt đúng/sai ạ . Giải chi tiết giúp mình ạ . Nhanh giúp mình vs ạ . Cảm ơn bạn Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+cl~có~đố~thị$,như hình bên.,,Đặt $g(x)=f(\sqrt{x^2+x+2}).$,a) Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;2).$,b) Hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất trên tập xác định bằng 4.,$c)~f^\prime(1)

Question

Đề bài là phân biệt đúng/sai ạ . Giải chi tiết giúp mình ạ . Nhanh giúp mình vs ạ . Cảm ơn bạn Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+cl~có~đố~thị$,như hình bên.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/f01c68d4a1dc405e97b8306e557fdaf9.jpg />,Đặt $g(x)=f(\sqrt{x^2+x+2}).$,a) Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;2).$,b) Hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất trên tập xác định bằng 4.,$c)~f^\prime(1)<0.$,d) Hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1).$

Accepted Answer

a. Đúng
Chiều của đồ thị hàm số đi xuống khi $\displaystyle x\in ( 0;2)$
⟹ Hàm số nghịch biến trên $\displaystyle ( 0;2)$
b. Sai
Hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định vì $\displaystyle y ightarrow +\infty \ khi\ x ightarrow +\infty $
c. Đúng
Vì hàm số nghịch biến trên $\displaystyle ( 0;2)$
⟹ $\displaystyle f'( x) < 0\ \ \forall x\in ( 0;2)$
⟹$\displaystyle f'( 1) < 0\ \ $
d. Sai
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
g( x) =f\left(\sqrt{x^{2} +x+2} ight)\
\Longrightarrow g'( x) =\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2} +x+2}} f'\left(\sqrt{x^{2} +x+2} ight)
\end{array}$
Hàm số g(x) đồng biến
⟹ $\displaystyle g'( x) >0$
⟹$\displaystyle \frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2} +x+2}} f'\left(\sqrt{x^{2} +x+2} ight) >0$
TH1: $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
2x+1 >0\
f'\left(\sqrt{x^{2} +x+2} ight) < 0
\end{array}$⟹$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x >\frac{-1}{2}\
f'\left(\sqrt{x^{2} +x+2} ight) < 0
\end{array}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
f'\left(\sqrt{x^{2} +x+2} ight) < 0\
\Longrightarrow 0< \sqrt{x^{2} +x+2} < 2\
\Longrightarrow 0< x^{2} +x+2< 2\
\Longrightarrow -1< x< 0
\end{array}$
Mà $\displaystyle x >\frac{-1}{2}$
⟹ $\displaystyle -\frac{1}{2} < x< 0$
TH2: $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
2x+1< 0\
f'\left(\sqrt{x^{2} +x+2} ight) >0
\end{array}$⟹$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x< \frac{-1}{2}\
f'\left(\sqrt{x^{2} +x+2} ight) >0
\end{array}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
f'\left(\sqrt{x^{2} +x+2} ight) >0\
\Longrightarrow \sqrt{x^{2} +x+2} < 0\ \ ( vô\ lý) \ hoặc\ \sqrt{x^{2} +x+2} >2\
\Longrightarrow x^{2} +x+2 >4\
\Longrightarrow x< -2\ hoặc\ x >1
\end{array}$
Mà $\displaystyle x< \frac{-1}{2}$
⟹ $\displaystyle x< -2$
Kết hợp 2 trường hợp
⟹ $\displaystyle x\in ( -\infty ;-2) \cup \left(\frac{-1}{2} ;0 ight)$ thì hàm số g(x) đồng biến