Giup mik vs

Câu 1: Để dãy số $\frac{-1}{\sqrt{2}}; \sqrt{b}; \sqrt{2}$ lập thành cấp số nhân, ta cần tìm giá trị của \( b \) sao cho tỷ số giữa hai số liên tiếp trong dãy là hằng số. Gọi tỷ số chung của cấp số nhân là \( q \). Ta có: \[ q = \frac{\sqrt{b}}{\frac{-1}{\sqrt{2}}} \] \[ q = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b}} \] Bằng cách đặt hai biểu thức trên bằng nhau, ta có: \[ \frac{\sqrt{b}}{\frac{-1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b}} \] Nhân cả hai vế với \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\) và \(\sqrt{b}\): \[ \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) \] Simplifying the right-hand side: \[ b = -1 \] Do đó, giá trị của \( b \) là \(-1\). Vậy đáp án đúng là: A. \( b = -1 \) Đáp số: A. \( b = -1 \) Câu 2: Trước tiên, ta nhận thấy rằng đây là một cấp số nhân, do đó tỉ số giữa hai số liên tiếp là hằng số. Ta sẽ gọi tỉ số này là \( q \). Ta có: \[ \frac{a}{\frac{-1}{5}} = q \] \[ \frac{\frac{-1}{125}}{a} = q \] Từ hai biểu thức trên, ta có thể viết: \[ \frac{a}{\frac{-1}{5}} = \frac{\frac{-1}{125}}{a} \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này để tìm giá trị của \( a \): \[ \frac{a}{\frac{-1}{5}} = \frac{\frac{-1}{125}}{a} \] \[ a \cdot a = \frac{-1}{125} \cdot \frac{-1}{5} \] \[ a^2 = \frac{1}{625} \] Lấy căn bậc hai cả hai vế: \[ a = \pm \frac{1}{25} \] Vậy giá trị của \( a \) là: \[ a = \pm \frac{1}{25} \] Đáp án đúng là: B. \( a = \pm \frac{1}{25} \). Câu 3: Để dãy số: -1; x; 0,64 lập thành cấp số nhân, ta cần tìm giá trị của x sao cho tỷ số giữa hai số liên tiếp trong dãy là hằng số. Gọi tỷ số chung của cấp số nhân là q, ta có: \[ x = -1 \times q \] \[ 0,64 = x \times q \] Thay \( x = -1 \times q \) vào phương trình thứ hai: \[ 0,64 = (-1 \times q) \times q \] \[ 0,64 = -q^2 \] Từ đây, ta có: \[ q^2 = -0,64 \] Nhưng \( q^2 \) là bình phương của một số thực, do đó nó luôn luôn không âm. Vì vậy, không có giá trị nào của q thỏa mãn \( q^2 = -0,64 \). Do đó, không có giá trị nào của x để dãy số: -1; x; 0,64 lập thành cấp số nhân. Đáp án đúng là: A. Không có giá trị nào của x. Câu 4: Để xác định dãy số nào là cấp số nhân, ta cần kiểm tra tính chất của cấp số nhân: thương giữa hai số liên tiếp là hằng số. A. \( u_n = \frac{1}{4^n} - 1 \) Ta tính thương giữa hai số liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{1}{4^{n+1}} - 1}{\frac{1}{4^n} - 1} \] Thương này không phải là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. B. \( u_n = \frac{1}{4^{n-2}} \) Ta tính thương giữa hai số liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{1}{4^{(n+1)-2}}}{\frac{1}{4^{n-2}}} = \frac{\frac{1}{4^{n-1}}}{\frac{1}{4^{n-2}}} = \frac{1}{4^{n-1}} \cdot \frac{4^{n-2}}{1} = \frac{1}{4} \] Thương này là hằng số \(\frac{1}{4}\), do đó dãy số này là cấp số nhân. C. \( u_n = n^2 + \frac{1}{4} \) Ta tính thương giữa hai số liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2 + \frac{1}{4}}{n^2 + \frac{1}{4}} \] Thương này không phải là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. D. \( u_n = n^2 - \frac{1}{4} \) Ta tính thương giữa hai số liên tiếp: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2 - \frac{1}{4}}{n^2 - \frac{1}{4}} \] Thương này không phải là hằng số, do đó dãy số này không phải là cấp số nhân. Kết luận: Dãy số \( u_n = \frac{1}{4^{n-2}} \) là cấp số nhân. Đáp án đúng là: B. \( u_n = \frac{1}{4^{n-2}} \). Câu 5: Để ba số \(2x - 1\), \(x\), \(2x + 1\) lập thành một cấp số nhân, ta cần có: \[ \frac{x}{2x - 1} = \frac{2x + 1}{x} \] Bước 1: Nhân cả hai vế với \((2x - 1)\) và \(x\) để loại bỏ mẫu số: \[ x^2 = (2x + 1)(2x - 1) \] Bước 2: Thực hiện phép nhân ở vế phải: \[ x^2 = 4x^2 - 1 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4x^2 + 1 = 0 \] \[ -3x^2 + 1 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai: \[ 3x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Vậy đáp án đúng là: C. \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) Đáp số: \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) Câu 6: Để ba số \( x - 2 \), \( x + 1 \), \( 3 - x \) lập thành một cấp số nhân, ta cần có: \[ (x + 1)^2 = (x - 2)(3 - x) \] Bước 1: Mở rộng hai vế của phương trình: \[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] \[ (x - 2)(3 - x) = 3x - x^2 - 6 + 2x = -x^2 + 5x - 6 \] Bước 2: Đặt hai biểu thức này bằng nhau: \[ x^2 + 2x + 1 = -x^2 + 5x - 6 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 + 2x + 1 + x^2 - 5x + 6 = 0 \] \[ 2x^2 - 3x + 7 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai: \[ 2x^2 - 3x + 7 = 0 \] Ta tính delta (\( \Delta \)): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 9 - 56 = -47 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình bậc hai này không có nghiệm thực. Do đó, không có giá trị nào của \( x \) để ba số \( x - 2 \), \( x + 1 \), \( 3 - x \) lập thành một cấp số nhân. Đáp án đúng là: A. Không có giá trị nào của x. Câu 7: Để ba số \(1, x^2, 6 - x^2\) lập thành cấp số nhân, ta cần có: \[ x^2 = 1 \cdot q \] \[ 6 - x^2 = x^2 \cdot q \] Trong đó \(q\) là tỉ số của cấp số nhân. Từ phương trình đầu tiên: \[ x^2 = q \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 6 - x^2 = x^2 \cdot x^2 \] \[ 6 - x^2 = x^4 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^4 + x^2 - 6 = 0 \] Đặt \( y = x^2 \), ta có phương trình bậc hai: \[ y^2 + y - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ y = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ y_1 = 2 \] \[ y_2 = -3 \] Do \( y = x^2 \geq 0 \), ta loại nghiệm \( y = -3 \). Vậy \( y = 2 \): \[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \] Đáp án đúng là: B. \( x = \pm \sqrt{2} \). Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện để các số lập thành cấp số cộng. 2. Xác định điều kiện để các số lập thành cấp số nhân. 3. Giải hệ phương trình để tìm giá trị của \(x\) và \(y\). Bước 1: Xác định điều kiện để các số lập thành cấp số cộng Các số \(x + 6y\), \(5x + 2y\), \(8x + y\) lập thành cấp số cộng, tức là: \[ 2(5x + 2y) = (x + 6y) + (8x + y) \] Giải phương trình này: \[ 10x + 4y = x + 6y + 8x + y \] \[ 10x + 4y = 9x + 7y \] \[ x = 3y \quad \text{(1)} \] Bước 2: Xác định điều kiện để các số lập thành cấp số nhân Các số \(x + \frac{5}{3}y\), \(y - 1\), \(2x - 3y\) lập thành cấp số nhân, tức là: \[ (y - 1)^2 = \left(x + \frac{5}{3}y\right)(2x - 3y) \] Thay \(x = 3y\) vào phương trình trên: \[ (y - 1)^2 = \left(3y + \frac{5}{3}y\right)(2(3y) - 3y) \] \[ (y - 1)^2 = \left(\frac{9y + 5y}{3}\right)(6y - 3y) \] \[ (y - 1)^2 = \left(\frac{14y}{3}\right)(3y) \] \[ (y - 1)^2 = 14y^2 \] Giải phương trình này: \[ y^2 - 2y + 1 = 14y^2 \] \[ 13y^2 + 2y - 1 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai Phương trình \(13y^2 + 2y - 1 = 0\) có dạng \(ay^2 + by + c = 0\). Ta sử dụng công thức nghiệm: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 13\), \(b = 2\), \(c = -1\): \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-1)}}{2 \cdot 13} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 52}}{26} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{56}}{26} \] \[ y = \frac{-2 \pm 2\sqrt{14}}{26} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{14}}{13} \] Do đó, ta có hai giá trị của \(y\): \[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{14}}{13} \] \[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{14}}{13} \] Bước 4: Tìm giá trị của \(x\) Thay \(y_1\) và \(y_2\) vào \(x = 3y\): 1. Với \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{14}}{13}\): \[ x_1 = 3 \cdot \frac{-1 + \sqrt{14}}{13} = \frac{-3 + 3\sqrt{14}}{13} \] 2. Với \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{14}}{13}\): \[ x_2 = 3 \cdot \frac{-1 - \sqrt{14}}{13} = \frac{-3 - 3\sqrt{14}}{13} \] Kết luận Các cặp giá trị \((x, y)\) là: \[ \left( \frac{-3 + 3\sqrt{14}}{13}, \frac{-1 + \sqrt{14}}{13} \right) \] \[ \left( \frac{-3 - 3\sqrt{14}}{13}, \frac{-1 - \sqrt{14}}{13} \right) \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chỉ có cặp \((-3, -1)\) và \(\left(\frac{3}{8}, \frac{1}{8}\right)\) là đúng. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~(x;y)=(-3;-1);(\frac{3}{8};\frac{1}{8})} \] Câu 9: Để phương trình $x^3 + 2x^2 + (m+1)x + 2(m+1) = 0$ có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, ta sẽ áp dụng các tính chất của cấp số nhân và phương pháp giải phương trình bậc ba. Giả sử ba nghiệm của phương trình là $a$, $ar$, $ar^2$. Theo định lý Vi-et, ta có: 1. Tổng các nghiệm: $a + ar + ar^2 = -2$ 2. Tích hai nghiệm bất kỳ với hệ số cao nhất: $a \cdot ar + a \cdot ar^2 + ar \cdot ar^2 = m + 1$ 3. Tích các nghiệm: $a \cdot ar \cdot ar^2 = -2(m+1)$ Từ (3), ta có: \[ a^3 r^3 = -2(m+1) \] \[ (ar)^3 = -2(m+1) \] Từ (1), ta có: \[ a(1 + r + r^2) = -2 \] \[ a = \frac{-2}{1 + r + r^2} \] Thay vào (2): \[ a^2 r (1 + r + r^2) = m + 1 \] \[ \left(\frac{-2}{1 + r + r^2}\right)^2 r (1 + r + r^2) = m + 1 \] \[ \frac{4r}{(1 + r + r^2)} = m + 1 \] Bây giờ, ta thay vào (3): \[ \left(\frac{-2}{1 + r + r^2}\right)^3 r^3 = -2(m+1) \] \[ \frac{-8r^3}{(1 + r + r^2)^3} = -2(m+1) \] \[ \frac{4r^3}{(1 + r + r^2)^3} = m + 1 \] So sánh hai biểu thức trên: \[ \frac{4r}{1 + r + r^2} = \frac{4r^3}{(1 + r + r^2)^3} \] \[ (1 + r + r^2)^2 = r^2 \] \[ 1 + 2r + 3r^2 + 2r^3 + r^4 = r^2 \] \[ r^4 + 2r^3 + 2r^2 + 2r + 1 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị của $r$: - Nếu $r = -1$, ta có: \[ (-1)^4 + 2(-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 2 - 2 + 1 = 0 \] Do đó, $r = -1$ là nghiệm. Thay $r = -1$ vào phương trình: \[ a = \frac{-2}{1 + (-1) + (-1)^2} = \frac{-2}{1 - 1 + 1} = \frac{-2}{1} = -2 \] Các nghiệm là $-2$, $2$, $-2$. Thay vào phương trình ban đầu: \[ x^3 + 2x^2 + (m+1)x + 2(m+1) = 0 \] \[ (-2)^3 + 2(-2)^2 + (m+1)(-2) + 2(m+1) = 0 \] \[ -8 + 8 - 2(m+1) + 2(m+1) = 0 \] \[ 0 = 0 \] Điều này đúng, do đó phương trình có nghiệm khi $m = -1$. Kiểm tra các giá trị khác: - Nếu $r = 1$, ta có: \[ 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 \neq 0 \] Do đó, $r = 1$ không thỏa mãn. Vậy phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân khi $m = -1$. Đáp án: A. $m = -1, m = -3, m = -4$