Câu 3. SB, SD. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai? Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của đoạn Mệnh đề Đúng Sai a) MN/ IBD b) MN và AC là hai đường thẳng chéo...

Câu 3. a) MN // BD - Vì M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD, nên MN là đường trung bình của tam giác SBD. - Đường trung bình của một tam giác song song với đáy, do đó MN // BD. Lập luận: Đúng. b) MN và AC là hai đường thẳng chéo nhau. - MN // BD, và BD nằm trong mặt phẳng (ABCD). - AC cũng nằm trong mặt phẳng (ABCD). - Do đó, MN và AC nằm trong cùng một mặt phẳng (ABCD), và chúng không song song với nhau (vì MN // BD và AC cắt BD tại tâm O của hình thoi ABCD). Lập luận: Sai. c) AC ⊥ BD - Vì đáy ABCD là hình thoi, các đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau. - Do đó, AC ⊥ BD. Lập luận: Đúng. d) (MN, AC) = 90° - MN // BD, và AC ⊥ BD. - Do đó, góc giữa MN và AC sẽ là 90°. Lập luận: Đúng. Kết luận: - a) Đúng - b) Sai - c) Đúng - d) Đúng Câu 4. Trước tiên, ta sẽ xác định các điểm và tính toán các đoạn thẳng liên quan trong tứ diện đều ABCD. 1. Xác định các điểm và tính toán các đoạn thẳng: - Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng $$. - M là trung điểm của BC, do đó BM = MC = $$. - N là trung điểm của AC, do đó AN = NC = $$. 2. Tính MN: - MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN = $$. 3. Tính MD và ND: - MD và ND là các đoạn thẳng từ đỉnh D đến các trung điểm của các cạnh BC và AC. - Ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ đỉnh đến trung điểm của cạnh trong tam giác đều: $$ 4. Tính góc giữa các đường thẳng: - Góc giữa AB và DM: Vì AB song song với MN và MN nằm trong mặt phẳng (ACD), nên góc giữa AB và DM bằng góc giữa MN và DM. - Ta có: $$ - Ta sử dụng công thức tính cos góc giữa hai vectơ: $$ - Ta có: $$ - Tích vô hướng: $$ - Độ dài các vectơ: $$ - Vậy: $$ 5. Kết luận: - MN // AB: Đúng vì MN là đường trung bình của tam giác ABC. - MD = ND = $$: Đúng. - (AB, DM) = (MN, DM): Đúng vì MN // AB. - $$: Đúng. Vậy các mệnh đề đúng là: - MN // AB - MD = ND = $$ - (AB, DM) = (MN, DM) - $$ Câu 5. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. a) (AB, SA) = 90° - Vì SA ⊥ AB (theo đề bài), nên góc giữa AB và SA là 90°. Mệnh đề này đúng. b) SA ⊥ CD - Ta biết rằng SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Vì đáy ABCD là hình thoi, nên AB và AD là hai cạnh liên tiếp của hình thoi, và chúng tạo thành một góc 60° hoặc 120°. Do đó, SA cũng sẽ vuông góc với CD vì CD song song với AB. Mệnh đề này đúng. c) (SD, BC) = (SD, CD) - Vì đáy ABCD là hình thoi, nên BC và CD là hai cạnh liên tiếp của hình thoi và tạo thành một góc 60° hoặc 120°. Góc giữa SD và BC sẽ bằng góc giữa SD và CD do tính chất đối xứng của hình thoi. Mệnh đề này đúng. d) SD = 60° - Để kiểm tra góc SD, ta cần xem xét hình chóp S.ABCD. Vì SA ⊥ đáy ABCD và đáy là hình thoi, ta có thể suy ra rằng SD sẽ tạo thành một góc với đáy. Tuy nhiên, để xác định chính xác góc này, ta cần thêm thông tin về vị trí của điểm D trên đáy. Nếu ta giả sử rằng D nằm ở vị trí sao cho SD tạo thành một góc 60° với đáy, thì mệnh đề này có thể đúng. Tuy nhiên, không có thông tin cụ thể về vị trí của D trong đề bài, nên ta không thể chắc chắn về góc này. Mệnh đề này chưa chắc chắn. Kết luận: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) chưa chắc chắn. Đáp án: a, b, c. Câu 6. Trước tiên, ta sẽ xác định các thông tin đã cho và vẽ sơ đồ tứ diện ABCD. - AB = AC = AD = 1 - Góc BAC = BAD = 60° - Góc CAD = 90° Bước 1: Xác định vị trí của các điểm - Điểm I là trung điểm của AB, vậy AI = IB = $$ - Điểm J là trung điểm của CD, vậy CJ = JD = $$ Bước 2: Tính độ dài CD Ta có tam giác ACD là tam giác vuông tại A với góc CAD = 90°. Do đó, theo định lý Pythagoras: $$ $$ Bước 3: Kiểm tra tính chất của tam giác BCD - Ta biết rằng AB = AC = AD = 1 và góc BAC = BAD = 60°, nên tam giác ABC và tam giác ABD đều là tam giác đều. - Vì góc CAD = 90°, tam giác ACD là tam giác vuông cân tại A. Do đó, tam giác BCD cũng là tam giác vuông cân tại C vì: - BC = BD (do tam giác ABC và ABD đều là tam giác đều) - Góc BCD = 90° (vì góc BCA + góc ACD = 60° + 30° = 90°) Bước 4: Kiểm tra IJ và AB - I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD. - Ta cần kiểm tra xem IJ có vuông góc với AB hay không. Do tam giác ABC và ABD đều là tam giác đều, đường cao hạ từ A đến BC và BD sẽ chia đôi góc BAC và BAD. Đường thẳng này cũng là đường trung trực của AB, do đó IJ sẽ vuông góc với AB. Bước 5: Kiểm tra IJ và CD - J là trung điểm của CD, và do tam giác BCD là tam giác vuông cân tại C, đường thẳng từ J đến C sẽ vuông góc với CD. Kết luận - CD = $$ - Tam giác BCD vuông cân tại C. - IJ vuông góc với AB. - IJ vuông góc với CD. Vậy các mệnh đề đúng là: a) CD = $$ b) Tam giác BCD vuông cân tại C. c) IJ vuông góc với AB. d) IJ vuông góc với CD. Đáp án: Đúng Câu 7. Trong hình hộp ABCD•A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: a) ABCD là hình chữ nhật. - Vì tất cả các cạnh của hình hộp đều bằng nhau, nên ABCD là hình vuông (một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật). Do đó, mệnh đề này đúng. b) A'C ⊥ BD. - Trong hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau, mặt đáy ABCD là hình vuông. Đường chéo A'C của hình vuông ABCD sẽ vuông góc với đường chéo BD của cùng hình vuông đó. Do đó, mệnh đề này đúng. c) A'B ⊥ DC. - A'B là cạnh bên của hình hộp và DC là cạnh đáy. Vì tất cả các cạnh đều bằng nhau và hình hộp có các mặt phẳng đáy là hình vuông, nên A'B không vuông góc với DC. Do đó, mệnh đề này sai. d) BC ⊥ A'D. - BC là cạnh đáy của hình hộp và A'D là đường chéo từ đỉnh A' xuống đỉnh D. Vì tất cả các cạnh đều bằng nhau và hình hộp có các mặt phẳng đáy là hình vuông, nên BC không vuông góc với A'D. Do đó, mệnh đề này sai. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai