Giải bài tập trên $n(ADB)=n(A)+n(B)-n(AD^\prime(AAB)$,BÀI @. BIẾN CỐ HỢP BIẾN CỐ GIAO VÀ QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT,PBÀI 9,#. Đề kiểm tra rèn luyện,•Đề 0:,tr'Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi,câu hỏi, thỉ sinh chỉ chọn 1 phương án.,Câu 1: Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc. Biết $P(A)=\frac14,~P(A\cup B)=\frac12.$ Tính $P(B)$,$A.~\frac18.$ $B.~\frac14.$ $C.~\frac13.$ $D.~\frac34.$,Câu 2: Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Biết $P(A)=\frac15,~P(A\cup B)=\frac13.$ Tính $P(B).$,$A.~\frac35.$ $B.~\frac8{15}.$ $C.~\frac2{15}.$ $D.~\frac1{15}.$,Câu 3: Cho A và B là hai biến cố độc lập. Biết $P(B)=0,5,~P(A\cup B)=0,7.$ Tính $P(A)$,A. 0,2. B. 0,5. C. 0,7 . D. 0,4.,Câu 4: Lớp có 40 học sinh gồm 16 nam và 24 nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn ngẫu nhiên trong lớp,một nhóm gồm 3 học sinh để tham gia văn nghệ kỉ niệm ngày thành lập trường. Tính xác suất,nhóm thầy chọn được có ít nhất 2 học sinh nữ.,$A.~\frac{193}{247}.$ $B.~\frac{552}{1235}.$ $C.~\frac{253}{1235}.$ $D.~\frac{161}{247}.$,Câu 5: Trong ngân hàng câu hỏi kiểm tra có 20 câu hỏi trắc nghiệm và 10 câu hỏi tự luận. Thầy giáo cần,chọn ngẫu nhiên 5 câu hỏi để tạo thành một đề kiểm tra. Xác suất để thầy giáo chọn được đề,chỉ có 1 hoặc 2 câu hỏi tự luận gần nhất với giá trị nào sau đây?,A. 0,5. B. 0,6. C. 0,7. D. 0,8.,Câu 6: Lớp có 44 học sinh gồm 24 học sinh giỏi và 20 học sinh khá. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn ngẫu,nhiên trong lớp một nhóm gồm 3 học sinh để kiểm tra kiến thức cũ. Tính xác suất trong 3 bạn,thầy chọn số học sinh giỏi nhiều hơn học sinh khá.,$A.~\frac1{14}.$ $B.~\frac{1886}{3311}.$ $C.~\frac{1380}{3311}.$ $D.~\frac{46}{301}.$,Câu 7: Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?,$A.~P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ $B.~P(A\cup B)=P(A).P(B).P(B)$,$C.~P(A\cup B)=P(A)-P(B)$ $D.~P(A\cap B)=P(A)+P(B)$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Ta biết rằng nếu hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc thì:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

Biết rằng:
$$ P(A) = \frac{1}{4} $$
$$ P(A \cup B) = \frac{1}{2} $$

Thay vào công thức trên ta có:
$$ \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + P(B) $$

Giải phương trình này để tìm $ P(B) $:
$$ P(B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} $$
$$ P(B) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} $$
$$ P(B) = \frac{1}{4} $$

Vậy đáp án đúng là:
B. $\frac{1}{4}$

Câu 2:
Ta biết rằng nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Biết rằng:
$$ P(A) = \frac{1}{5} $$
$$ P(A \cup B) = \frac{1}{3} $$

Áp dụng công thức trên ta có:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

Thay các giá trị đã biết vào:
$$ \frac{1}{3} = \frac{1}{5} + P(B) $$

Giải phương trình này để tìm $P(B)$:
$$ P(B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} $$

Quy đồng mẫu số:
$$ P(B) = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15} $$

Vậy $P(B) = \frac{2}{15}$.

Đáp án đúng là: C. $\frac{2}{15}$.

Câu 3:
Ta có:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên:
$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$

Thay vào ta có:
$$ 0,7 = P(A) + 0,5 - P(A) \cdot 0,5 $$

Gọi $ P(A) = x $, ta có phương trình:
$$ 0,7 = x + 0,5 - 0,5x $$
$$ 0,7 = 0,5 + 0,5x $$
$$ 0,7 - 0,5 = 0,5x $$
$$ 0,2 = 0,5x $$
$$ x = \frac{0,2}{0,5} $$
$$ x = 0,4 $$

Vậy $ P(A) = 0,4 $.

Đáp án đúng là: D. 0,4.

Câu 4:
Để tính xác suất nhóm thầy chọn được có ít nhất 2 học sinh nữ, ta sẽ tính xác suất của các trường hợp có 2 học sinh nữ và 3 học sinh nữ, sau đó cộng lại.

1. Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 40 học sinh:
   $$
   C_{40}^3 = \frac{40!}{3!(40-3)!} = \frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1} = 9880
   $$

2. Số cách chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam:
   - Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 24 học sinh nữ:
     $$
     C_{24}^2 = \frac{24!}{2!(24-2)!} = \frac{24 \times 23}{2 \times 1} = 276
     $$
   - Số cách chọn 1 học sinh nam từ 16 học sinh nam:
     $$
     C_{16}^1 = 16
     $$
   - Tổng số cách chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam:
     $$
     276 \times 16 = 4416
     $$

3. Số cách chọn 3 học sinh nữ:
   $$
   C_{24}^3 = \frac{24!}{3!(24-3)!} = \frac{24 \times 23 \times 22}{3 \times 2 \times 1} = 2024
   $$

4. Tổng số cách chọn nhóm có ít nhất 2 học sinh nữ:
   $$
   4416 + 2024 = 6440
   $$

5. Xác suất nhóm thầy chọn được có ít nhất 2 học sinh nữ:
   $$
   P = \frac{6440}{9880} = \frac{161}{247}
   $$

Vậy đáp án đúng là:
D. $\frac{161}{247}$.

Câu 5:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất của hai trường hợp riêng lẻ: trường hợp có 1 câu hỏi tự luận và trường hợp có 2 câu hỏi tự luận, sau đó cộng chúng lại.

Bước 1: Tính tổng số cách chọn 5 câu hỏi từ 30 câu hỏi

Tổng số cách chọn 5 câu hỏi từ 30 câu hỏi là:
$$ \binom{30}{5} = \frac{30!}{5!(30-5)!} = 142506 $$

Bước 2: Tính số cách chọn 1 câu hỏi tự luận và 4 câu hỏi trắc nghiệm

Số cách chọn 1 câu hỏi tự luận từ 10 câu hỏi tự luận là:
$$ \binom{10}{1} = 10 $$

Số cách chọn 4 câu hỏi trắc nghiệm từ 20 câu hỏi trắc nghiệm là:
$$ \binom{20}{4} = \frac{20!}{4!(20-4)!} = 4845 $$

Vậy số cách chọn 1 câu hỏi tự luận và 4 câu hỏi trắc nghiệm là:
$$ 10 \times 4845 = 48450 $$

Bước 3: Tính số cách chọn 2 câu hỏi tự luận và 3 câu hỏi trắc nghiệm

Số cách chọn 2 câu hỏi tự luận từ 10 câu hỏi tự luận là:
$$ \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = 45 $$

Số cách chọn 3 câu hỏi trắc nghiệm từ 20 câu hỏi trắc nghiệm là:
$$ \binom{20}{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!} = 1140 $$

Vậy số cách chọn 2 câu hỏi tự luận và 3 câu hỏi trắc nghiệm là:
$$ 45 \times 1140 = 51300 $$

Bước 4: Tính xác suất của cả hai trường hợp

Xác suất để chọn được đề chỉ có 1 hoặc 2 câu hỏi tự luận là:
$$ P = \frac{48450 + 51300}{142506} = \frac{99750}{142506} \approx 0,7 $$

Vậy giá trị gần nhất là:
$$ \boxed{0,7} $$

Câu 6:
Để tính xác suất trong 3 bạn thầy chọn số học sinh giỏi nhiều hơn học sinh khá, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tổng số cách chọn 3 học sinh từ 44 học sinh:
   Số cách chọn 3 học sinh từ 44 học sinh là:
   $$
   C_{44}^3 = \frac{44!}{3!(44-3)!} = \frac{44 \times 43 \times 42}{3 \times 2 \times 1} = 13244
   $$

2. Tìm số cách chọn 3 học sinh sao cho số học sinh giỏi nhiều hơn học sinh khá:
   - Chọn 3 học sinh giỏi: 
     $$
     C_{24}^3 = \frac{24!}{3!(24-3)!} = \frac{24 \times 23 \times 22}{3 \times 2 \times 1} = 2024
     $$
   - Chọn 2 học sinh giỏi và 1 học sinh khá:
     $$
     C_{24}^2 \times C_{20}^1 = \left( \frac{24!}{2!(24-2)!} \right) \times 20 = \left( \frac{24 \times 23}{2 \times 1} \right) \times 20 = 276 \times 20 = 5520
     $$

Tổng số cách chọn 3 học sinh sao cho số học sinh giỏi nhiều hơn học sinh khá là:
   $$
   2024 + 5520 = 7544
   $$

3. Tính xác suất:
   Xác suất trong 3 bạn thầy chọn số học sinh giỏi nhiều hơn học sinh khá là:
   $$
   P = \frac{7544}{13244} = \frac{1886}{3311}
   $$

Vậy đáp án đúng là:
B. $\frac{1886}{3311}$

Câu 7:
Ta biết rằng nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì:
- Biến cố A và B không thể xảy ra cùng một lúc.
- Khả năng xảy ra của biến cố A hoặc B là tổng khả năng xảy ra của A và B.

Do đó, ta có:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

Vậy đáp án đúng là:
A. $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $

Đáp số: A. $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $