giúp tui với

Câu 43. Để tính diện tích hình bình hành \(ABCD\), ta cần tìm độ dài hai vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \), sau đó tính tích có hướng của chúng. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm \(D\). Trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tọa độ của \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, -2 - 1, 5 + 3) = (-2, -3, 8) \] Tọa độ của \( \overrightarrow{DC} \): \[ \overrightarrow{DC} = C - D \] Do đó: \[ \overrightarrow{DC} = (-2, -3, 8) \] \[ C - D = (-2, -3, 8) \] \[ D = C - (-2, -3, 8) = (1, 1, 3) - (-2, -3, 8) = (1 + 2, 1 + 3, 3 - 8) = (3, 4, -5) \] Bước 2: Tính độ dài hai vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \). Tọa độ của \( \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (3 - 2, 4 - 1, -5 + 3) = (1, 3, -2) \] Bước 3: Tính tích có hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \). Tích có hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3) \) và \( \overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3) \) là: \[ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -3 & 8 \\ 1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right| \] \[ = \mathbf{i}((-3)(-2) - (8)(3)) - \mathbf{j}((-2)(-2) - (8)(1)) + \mathbf{k}((-2)(3) - (-3)(1)) \] \[ = \mathbf{i}(6 - 24) - \mathbf{j}(4 - 8) + \mathbf{k}(-6 + 3) \] \[ = \mathbf{i}(-18) - \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(-3) \] \[ = (-18, 4, -3) \] Bước 4: Tính độ dài của vectơ tích có hướng. \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-18)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{324 + 16 + 9} = \sqrt{349} \] Diện tích hình bình hành \(ABCD\) là: \[ S = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = \sqrt{349} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C. \sqrt{349}} \] Câu 44. Để tính thể tích của tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức thể tích của một tứ diện được xác định bởi bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), và \(D\): \[ V = \frac{1}{6} \left| \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \right| \] Trước tiên, ta tìm các vectơ \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), và \(\vec{AD}\). - Vectơ \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = B - A = (-1 - 0, 0 - 1, 2 - 1) = (-1, -1, 1) \] - Vectơ \(\vec{AC}\): \[ \vec{AC} = C - A = (-1 - 0, 1 - 1, 0 - 1) = (-1, 0, -1) \] - Vectơ \(\vec{AD}\): \[ \vec{AD} = D - A = (2 - 0, 1 - 1, -2 - 1) = (2, 0, -3) \] Tiếp theo, ta tính tích vector \(\vec{AC} \times \vec{AD}\): \[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}(0 \cdot (-3) - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}((-1) \cdot 0 - 0 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(3 - (-2)) + \mathbf{k}(0) \] \[ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(3 + 2) + \mathbf{k}(0) \] \[ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(5) + \mathbf{k}(0) \] \[ = (0, -5, 0) \] Sau đó, ta tính tích vô hướng \(\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})\): \[ \vec{AB} \cdot (0, -5, 0) = (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-5) + 1 \cdot 0 \] \[ = 0 + 5 + 0 \] \[ = 5 \] Cuối cùng, ta tính thể tích của tứ diện ABCD: \[ V = \frac{1}{6} \left| 5 \right| = \frac{5}{6} \] Vậy thể tích của tứ diện ABCD là: \[ V = \frac{5}{6} \] Đáp án đúng là: A. \( V = \frac{5}{6} \) Câu 45. Để tính diện tích tam giác OAB trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ OA và OB: - Vectơ OA: $\overrightarrow{OA} = (1-0, 2-0, -1-0) = (1, 2, -1)$ - Vectơ OB: $\overrightarrow{OB} = (0-0, -2-0, 3-0) = (0, -2, 3)$ 2. Tính tích có hướng của hai vectơ OA và OB: - Tích có hướng $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$: \[ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-2) - 2 \cdot 0) = \mathbf{i}(6 - 2) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(-2) = 4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \] - Vậy $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (4, -3, -2)$ 3. Tính độ dài của vectơ tích có hướng: - Độ dài $\left| \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} \right|$: \[ \left| \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} \right| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29} \] 4. Diện tích tam giác OAB: - Diện tích tam giác OAB là: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} \right| = \frac{1}{2} \sqrt{29} \] Vậy diện tích tam giác OAB là $\frac{\sqrt{29}}{2}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{\sqrt{29}}{2}$. Câu 46. Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F} = (20; 30; -10)$ (đơn vị: N) khi thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow{d} = (150; 200; 100)$ (đơn vị: m) được tính bằng công thức: \[ W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} \] Trong đó, $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}$ là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{d}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{F} = (F_x, F_y, F_z)$ và $\overrightarrow{d} = (d_x, d_y, d_z)$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y + F_z \cdot d_z \] Áp dụng vào bài toán: \[ \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = 20 \cdot 150 + 30 \cdot 200 + (-10) \cdot 100 \] Tính từng thành phần: \[ 20 \cdot 150 = 3000 \] \[ 30 \cdot 200 = 6000 \] \[ (-10) \cdot 100 = -1000 \] Cộng lại: \[ 3000 + 6000 - 1000 = 8000 \] Vậy công sinh bởi lực là: \[ W = 8000 \text{ J} \] Đáp án đúng là: B. 8000 J. Câu 47. Để ba điểm \( A(-1, 2, -3) \), \( B(1, 0, 2) \), và \( C(x, y, -2) \) thẳng hàng, vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) phải cùng phương. Ta tính các vectơ này: \[ \overrightarrow{AB} = (1 - (-1), 0 - 2, 2 - (-3)) = (2, -2, 5) \] \[ \overrightarrow{AC} = (x - (-1), y - 2, -2 - (-3)) = (x + 1, y - 2, 1) \] Hai vectơ cùng phương khi tỉ số của các thành phần tương ứng bằng nhau: \[ \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{1}{5} \] Từ đây ta có hai phương trình: \[ \frac{x + 1}{2} = \frac{1}{5} \Rightarrow x + 1 = \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5} \] \[ \frac{y - 2}{-2} = \frac{1}{5} \Rightarrow y - 2 = -\frac{2}{5} \Rightarrow y = 2 - \frac{2}{5} = \frac{10}{5} - \frac{2}{5} = \frac{8}{5} \] Vậy \( x = -\frac{3}{5} \) và \( y = \frac{8}{5} \). Ta tính \( x + y \): \[ x + y = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} = \frac{-3 + 8}{5} = \frac{5}{5} = 1 \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( x + y = 1 \) Đáp số: A. \( x + y = 1 \) Câu 48. Để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng, ta cần tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho tỉ số giữa các thành phần tương ứng của hai vectơ là bằng nhau. Ta có: \[ \overrightarrow{a} = (2; m-1; 3) \] \[ \overrightarrow{b} = (1; 3; -2n) \] Hai vectơ cùng hướng nếu: \[ \frac{2}{1} = \frac{m-1}{3} = \frac{3}{-2n} \] Từ đó ta có: \[ \frac{2}{1} = 2 \] \[ \frac{m-1}{3} = 2 \implies m - 1 = 6 \implies m = 7 \] \[ \frac{3}{-2n} = 2 \implies 3 = -4n \implies n = -\frac{3}{4} \] Vậy, giá trị của \(m\) và \(n\) là: \[ m = 7, \quad n = -\frac{3}{4} \] Đáp án đúng là: A. \(m = 7; n = -\frac{3}{4}\). Câu 49. Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(M\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AM\) phải cùng phương. Ta sẽ tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AM\) rồi so sánh chúng. 1. Tính vectơ \(AB\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (5-2, -5+1, 7-5) = (3, -4, 2) \] 2. Tính vectơ \(AM\): \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x-2, y+1, 1-5) = (x-2, y+1, -4) \] 3. Để hai vectơ cùng phương, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] \[ (x-2, y+1, -4) = k \cdot (3, -4, 2) \] Từ đây, ta có hệ phương trình: \[ x - 2 = 3k \quad (1) \] \[ y + 1 = -4k \quad (2) \] \[ -4 = 2k \quad (3) \] Giải phương trình (3) để tìm \(k\): \[ -4 = 2k \implies k = -2 \] Thay \(k = -2\) vào phương trình (1) và (2): \[ x - 2 = 3(-2) \implies x - 2 = -6 \implies x = -4 \] \[ y + 1 = -4(-2) \implies y + 1 = 8 \implies y = 7 \] Vậy giá trị của \(x\) và \(y\) là: \[ x = -4, \quad y = 7 \] Đáp án đúng là: D. \(x = -4; y = 7\). Câu 50. Để tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm M: Vì M thuộc mặt phẳng (Oxy), tọa độ của M sẽ có dạng \( M(x; y; 0) \). 2. Tìm vectơ AB và vectơ AM: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) từ A đến B: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2; 1 + 2; 2 - 1) = (-2; 3; 1) \] - Vectơ \( \overrightarrow{AM} \) từ A đến M: \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x - 2; y + 2; 0 - 1) = (x - 2; y + 2; -1) \] 3. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AM} \) cùng phương, tức là tồn tại số thực \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] Điều này dẫn đến hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 2 = -2k \\ y + 2 = 3k \\ -1 = k \end{cases} \] 4. Giải hệ phương trình: - Từ phương trình thứ ba: \( k = -1 \) - Thay \( k = -1 \) vào phương trình thứ nhất: \[ x - 2 = -2(-1) \Rightarrow x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4 \] - Thay \( k = -1 \) vào phương trình thứ hai: \[ y + 2 = 3(-1) \Rightarrow y + 2 = -3 \Rightarrow y = -5 \] 5. Kết luận: Tọa độ điểm M là \( M(4; -5; 0) \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( M(4; -5; 0) \) Đáp số: A. \( M(4; -5; 0) \)