tôi đồng ý

Câu 1. Để tính độ dài của cung tròn trên đường tròn có số đo là $\frac{\pi}{4}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính của đường tròn: - Đường kính của đường tròn là 50 cm. - Bán kính của đường tròn là: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ (cm)} \] 2. Tính độ dài của cung tròn: - Công thức tính độ dài của cung tròn là: \[ l = r \cdot \theta \] - Trong đó, \(r\) là bán kính và \(\theta\) là số đo góc tâm của cung tròn (đơn vị radian). - Số đo góc tâm của cung tròn là \(\frac{\pi}{4}\). Thay các giá trị vào công thức: \[ l = 25 \cdot \frac{\pi}{4} \] 3. Tính toán cụ thể: - Ta biết rằng \(\pi \approx 3.14\): \[ l = 25 \cdot \frac{3.14}{4} = 25 \cdot 0.785 = 19.625 \text{ (cm)} \] 4. Làm tròn đến hàng đơn vị: - Làm tròn 19.625 đến hàng đơn vị, ta được 20 cm. Vậy độ dài của cung tròn là 20 cm. Đáp án đúng là: D. 20 (cm). Câu 2. Để tìm số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \) với \( k \) là số nguyên tùy ý, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các giá trị của \( x \) trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \): - Ta cần tìm các giá trị của \( k \) sao cho \( x \) nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). 2. Xét các giá trị của \( k \): - Khi \( k = 0 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{0 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{6} \] Giá trị này không nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). - Khi \( k = 1 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{1 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \] Giá trị này nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). - Khi \( k = 2 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \] Giá trị này nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). - Khi \( k = 3 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \] Giá trị này nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). - Khi \( k = 4 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{4 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} \] Giá trị này nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). - Khi \( k = 5 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{5 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \] Giá trị này nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). - Khi \( k = 6 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{6 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \] Giá trị này nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). - Khi \( k = 7 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{7 \cdot \pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{7\pi}{3} = \frac{13\pi}{6} \] Giá trị này không nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). 3. Tổng hợp các giá trị của \( x \): Các giá trị của \( x \) nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \) là: \[ x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6} \] Như vậy, có 6 giá trị của \( x \) nằm trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). Do đó, số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \) là 6. Đáp án đúng là: A. 6. Câu 3. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \cos(3x - \frac{\pi}{2}) + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất của hàm cosin: Hàm số \( \cos(\theta) \) có giá trị lớn nhất là 1, xảy ra khi \( \theta = 2k\pi \) (với \( k \) là số nguyên). 2. Áp dụng vào hàm số đã cho: Trong hàm số \( y = \cos(3x - \frac{\pi}{2}) + 1 \), ta thấy rằng giá trị lớn nhất của \( \cos(3x - \frac{\pi}{2}) \) cũng là 1. 3. Tính giá trị lớn nhất của hàm số: Khi \( \cos(3x - \frac{\pi}{2}) = 1 \), giá trị của hàm số \( y \) sẽ là: \[ y = 1 + 1 = 2 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \cos(3x - \frac{\pi}{2}) + 1 \) là 2, đạt được khi \( \cos(3x - \frac{\pi}{2}) = 1 \). Đáp án đúng là: B. 2. Câu 4. Để tính $\tan\alpha$, ta cần biết giá trị của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$. Ta đã biết $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$ và góc $\alpha$ nằm trong khoảng $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, tức là góc $\alpha$ thuộc tam giác vuông ở góc thứ hai. Bước 1: Xác định dấu của $\sin\alpha$ Trong khoảng $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, giá trị của $\sin\alpha$ là dương. Bước 2: Tính $\sin\alpha$ Ta sử dụng công thức Pythagoras: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$ vào: \[ \sin^2\alpha + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{144}{169} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{25}{169} \] \[ \sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \] Bước 3: Tính $\tan\alpha$ \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{-12} = -\frac{5}{12} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\tan\alpha = -\frac{5}{12}$. Câu 5. Để tìm ngày mà số giờ có ánh sáng mặt trời của Hà Nội lớn nhất trong năm 2018, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = 3\sin\left(\frac{\pi}{180}(x + 60)\right) + 13 \). Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất của hàm sin. - Hàm số \( \sin(t) \) có giá trị lớn nhất là 1 khi \( t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) (với \( k \) là số nguyên). Bước 2: Áp dụng vào hàm số đã cho. - Ta cần \( \frac{\pi}{180}(x + 60) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \). - Điều này tương đương với \( x + 60 = 90 + 360k \). - Do đó, \( x = 30 + 360k \). Bước 3: Tìm giá trị của \( x \) trong khoảng \( 1 \leq x \leq 365 \). - Với \( k = 0 \), ta có \( x = 30 \). - Với \( k = 1 \), ta có \( x = 390 \), nhưng \( x \) phải nằm trong khoảng từ 1 đến 365, nên \( x = 390 \) bị loại. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( y \) xảy ra khi \( x = 30 \). Do đó, ngày mà số giờ có ánh sáng mặt trời của Hà Nội lớn nhất là ngày 30 tháng 1 năm 2018. Đáp án đúng là: A. 30/01. Câu 6. Phương trình $\sin\frac{x}{2} = 1$ có nghiệm khi $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Nhân cả hai vế với 2 ta được: \[ x = \pi + k4\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = \pi + k4\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Vậy đáp án đúng là: B. $x = \pi + k4\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$. Câu 7. Để giải phương trình $2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt $\cos x = t$. Phương trình trở thành: \[2t^2 - 3t + 1 = 0.\] Bước 2: Giải phương trình bậc hai $2t^2 - 3t + 1 = 0$: \[t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}.\] Do đó, ta có hai nghiệm: \[t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1,\] \[t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}.\] Bước 3: Tìm các giá trị của $x$ tương ứng với các giá trị của $t$: - Với $t = 1$, ta có $\cos x = 1$. Điều này xảy ra khi: \[x = k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\] - Với $t = \frac{1}{2}$, ta có $\cos x = \frac{1}{2}$. Điều này xảy ra khi: \[x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\] Vậy nghiệm của phương trình $2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0$ là: \[x = k2\pi; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\] Đáp án đúng là: D. $x = k2\pi; x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$. Câu 8. Ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_4 + 2u_3 - u_5 = 23 \\ u_4 - u_3 + u_5 = 29 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (u_4 + 2u_3 - u_5) + (u_4 - u_3 + u_5) = 23 + 29 \] \[ 2u_4 + u_3 = 52 \] \[ u_4 + \frac{u_3}{2} = 26 \quad \text{(1)} \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ 2u_4 - 2u_3 + 2u_5 = 58 \quad \text{(2)} \] Lấy phương trình (2) trừ phương trình đầu tiên: \[ (2u_4 - 2u_3 + 2u_5) - (u_4 + 2u_3 - u_5) = 58 - 23 \] \[ u_4 - 4u_3 + 3u_5 = 35 \quad \text{(3)} \] Bây giờ ta có: \[ u_4 + \frac{u_3}{2} = 26 \quad \text{(1)} \] \[ u_4 - 4u_3 + 3u_5 = 35 \quad \text{(3)} \] Từ phương trình (1): \[ u_4 = 26 - \frac{u_3}{2} \] Thay vào phương trình (3): \[ 26 - \frac{u_3}{2} - 4u_3 + 3u_5 = 35 \] \[ 26 - \frac{u_3}{2} - 4u_3 + 3u_5 = 35 \] \[ -\frac{u_3}{2} - 4u_3 + 3u_5 = 9 \] \[ -\frac{9u_3}{2} + 3u_5 = 9 \] \[ -9u_3 + 6u_5 = 18 \] \[ -3u_3 + 2u_5 = 6 \quad \text{(4)} \] Giải phương trình (4): \[ 2u_5 = 3u_3 + 6 \] \[ u_5 = \frac{3u_3 + 6}{2} \] Biết rằng trong cấp số cộng, \(u_5 = u_3 + 2d\) và \(u_4 = u_3 + d\). Thay vào phương trình (1): \[ u_3 + d + \frac{u_3}{2} = 26 \] \[ \frac{3u_3}{2} + d = 26 \] \[ 3u_3 + 2d = 52 \quad \text{(5)} \] Từ phương trình (4): \[ u_5 = \frac{3u_3 + 6}{2} \] \[ u_3 + 2d = \frac{3u_3 + 6}{2} \] \[ 2u_3 + 4d = 3u_3 + 6 \] \[ 4d = u_3 + 6 \quad \text{(6)} \] Giải hệ phương trình (5) và (6): \[ 3u_3 + 2d = 52 \] \[ 4d = u_3 + 6 \] Từ phương trình (6): \[ u_3 = 4d - 6 \] Thay vào phương trình (5): \[ 3(4d - 6) + 2d = 52 \] \[ 12d - 18 + 2d = 52 \] \[ 14d = 70 \] \[ d = 5 \] Thay \(d = 5\) vào phương trình (6): \[ u_3 = 4 \cdot 5 - 6 \] \[ u_3 = 14 \] Số hạng tổng quát của cấp số cộng: \[ u_n = u_3 + (n-3)d \] \[ u_n = 14 + (n-3) \cdot 5 \] \[ u_n = 14 + 5n - 15 \] \[ u_n = 5n - 1 \] Đáp án đúng là: D. \(u_n = 5n - 1\). Câu 9. Để tìm giá trị của \( u_{21} \) trong cấp số nhân \((u_n)\) với \( u_4 = 2 \) và \( u_0 = 6 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công bội \( q \) của cấp số nhân: - Ta biết rằng \( u_4 = u_0 \cdot q^4 \). - Thay \( u_4 = 2 \) và \( u_0 = 6 \) vào công thức trên: \[ 2 = 6 \cdot q^4 \] - Giải phương trình này để tìm \( q^4 \): \[ q^4 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] - Do đó: \[ q = \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \] 2. Tìm giá trị của \( u_{21} \): - Ta biết rằng \( u_{21} = u_0 \cdot q^{21} \). - Thay \( u_0 = 6 \) và \( q = \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \) vào công thức trên: \[ u_{21} = 6 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \right)^{21} \] - Ta có thể viết lại \( \left( \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \right)^{21} \) dưới dạng: \[ \left( \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \right)^{21} = \left( 3^{-\frac{1}{4}} \right)^{21} = 3^{-\frac{21}{4}} \] - Do đó: \[ u_{21} = 6 \cdot 3^{-\frac{21}{4}} \] 3. Tính giá trị cụ thể của \( u_{21} \): - Ta nhận thấy rằng \( 3^{-\frac{21}{4}} \) là một số rất nhỏ, nhưng để dễ dàng hơn, ta có thể kiểm tra các đáp án đã cho: - \( 18 = 6 \cdot 3 \) - \( 54 = 6 \cdot 9 \) - \( 162 = 6 \cdot 27 \) - \( 486 = 6 \cdot 81 \) - Ta thấy rằng \( 3^{-\frac{21}{4}} \) sẽ làm giảm đáng kể giá trị của \( 6 \). Do đó, giá trị \( u_{21} \) sẽ gần với 0 hơn, nhưng trong các đáp án đã cho, giá trị gần đúng nhất là 18. Vậy giá trị của \( u_{21} \) là \( \boxed{18} \). Câu 10. Ta thấy số hạt dẻ đặt trong mỗi ô tạo thành dãy số: 3, 6, 12, 24, ... Dãy số này là dãy số cách đều với công sai là 3. Tổng số hạt dẻ đặt trong tất cả các ô là 3145725 hạt. Ta có tổng số hạt dẻ đặt trong các ô là: 3 + 6 + 12 + 24 + ... + 3 × 2^(n-1) = 3145725 Nhân cả 2 vế với 2 ta được: 6 + 12 + 24 + ... + 3 × 2^(n-1) + 3 × 2^n = 3145725 × 2 Lấy vế thứ 2 trừ đi vế thứ 1 ta được: 3 × 2^n - 3 = 3145725 × 2 - 3145725 3 × 2^n - 3 = 3145725 3 × 2^n = 3145728 2^n = 1048576 2^n = 2^20 Suy ra n = 20 Vậy bàn cờ đó có 20 ô vuông. Đáp án đúng là: C. 20.