Thời gian trả hết nợ là?

Câu 18: Số tiền còn lại người đó chưa thanh toán là: \[ 500 - 100 = 400 \text{ (triệu đồng)} \] Lãi suất hàng tháng là 0,5%, tức là 0,005. Sau mỗi tháng, người đó trả 4 triệu đồng (gồm cả gốc và lãi). Ta sẽ tính số tiền gốc và lãi trong mỗi lần trả. Gọi \( A \) là số tiền gốc còn lại sau mỗi lần trả, và \( B \) là số tiền lãi phát sinh trong tháng. Ban đầu, số tiền gốc còn lại là 400 triệu đồng. - Tháng thứ nhất: - Lãi phát sinh: \( 400 \times 0,005 = 2 \) (triệu đồng) - Số tiền gốc trả: \( 4 - 2 = 2 \) (triệu đồng) - Số tiền gốc còn lại: \( 400 - 2 = 398 \) (triệu đồng) - Tháng thứ hai: - Lãi phát sinh: \( 398 \times 0,005 = 1,99 \) (triệu đồng) - Số tiền gốc trả: \( 4 - 1,99 = 2,01 \) (triệu đồng) - Số tiền gốc còn lại: \( 398 - 2,01 = 395,99 \) (triệu đồng) Tiếp tục quá trình này, ta thấy rằng mỗi tháng số tiền gốc trả dần tăng lên do lãi suất giảm dần. Ta có thể tính số tháng cần thiết để trả hết nợ bằng cách sử dụng công thức tính số tháng trả góp: \[ n = \frac{\ln\left(\frac{A_0 \cdot r + P}{P}\right)}{\ln(1 + r)} \] Trong đó: - \( A_0 \) là số tiền gốc ban đầu (400 triệu đồng) - \( r \) là lãi suất hàng tháng (0,005) - \( P \) là số tiền trả hàng tháng (4 triệu đồng) Thay các giá trị vào công thức: \[ n = \frac{\ln\left(\frac{400 \cdot 0,005 + 4}{4}\right)}{\ln(1 + 0,005)} \] \[ n = \frac{\ln\left(\frac{2 + 4}{4}\right)}{\ln(1,005)} \] \[ n = \frac{\ln\left(\frac{6}{4}\right)}{\ln(1,005)} \] \[ n = \frac{\ln(1,5)}{\ln(1,005)} \] Tính giá trị của \( n \): \[ n \approx \frac{0,4055}{0,00498} \approx 81,37 \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: \[ n \approx 81 \text{ tháng} \] Vậy thời gian để người đó trả hết nợ là khoảng 81 tháng.