Helppp meee an

Bài 15: 1) Chứng minh: 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn. - Ta thấy góc $$ (vì CF là đường cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB). - Tương tự, góc $$ (vì BE là đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC). Do đó, cả hai góc $$ và $$ đều là góc vuông. Theo tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nếu hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì chúng bằng nhau. Vì vậy, 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp tam giác BFC và BEC. 2) Kẻ đường kính BK của (O). Chứng minh: tứ giác ABCK là hình bình hành. - Ta biết rằng BK là đường kính của đường tròn (O), do đó $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Tương tự, $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác ABCK là hình bình hành: - Ta đã biết $$ và $$. - Vì $$ và $$, nên hai đường thẳng AK và CK vuông góc với BK tại K. - Do đó, AK song song với CK (vì cùng vuông góc với BK). Từ đây, ta có: - $$ và $$ (như đã chứng minh). - $$ (cùng vuông góc với BK). Vậy, tứ giác ABCK có hai cặp cạnh đối song song, do đó nó là hình bình hành. Đáp số: Tứ giác ABCK là hình bình hành. Bài 16: 1) Ta có: - Tam giác ABK có AK là đường kính của đường tròn tâm O, nên $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Tương tự, tam giác ACK cũng có AK là đường kính của đường tròn tâm O, nên $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó, tam giác ABK và tam giác ACK đều là tam giác vuông. 2) Ta có: - Tứ giác BHCK có $$ (vì BE và CF là các đường cao của tam giác ABC). - Tứ giác BHCK có $$ (vì AK là đường kính của đường tròn tâm O, nên $$). Từ đó, tứ giác BHCK có hai góc liên tiếp là góc vuông, do đó tứ giác BHCK là hình thang vuông. 3) Ta có: - Tứ giác BHCK là hình thang vuông, nên HK là đường cao của hình thang này. - Đường thẳng HK cắt BC tại M, ta cần chứng minh $$. Ta có: - Tứ giác BHCK là hình thang vuông, nên HK là đường cao của hình thang này. - Do đó, HK vuông góc với BC tại M, tức là $$. Mặt khác, ta có: - Tứ giác BHCK là hình thang vuông, nên OK là đường trung trực của đoạn thẳng BC (vì OK là đường kính của đường tròn tâm O và đi qua trung điểm của BC). - Do đó, OK vuông góc với BC tại M, tức là $$. Từ đó, ta có $$ (vì OK là đường trung trực của BC và đi qua trung điểm của BC). Vậy ta đã chứng minh được $$. Bài 17: 1) Ta có $$ nên tứ giác BFCE nội tiếp. Do đó $$ (cùng chắn cung CF) Mặt khác $$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CK) nên $$. Từ đây ta có $$. Tương tự ta cũng có $$. 2) Ta có $$ nên tứ giác BHCK là hình bình hành. Vì M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HK. 3) Ta có $$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BK) mà $$ (vì $$ nên $$. Mặt khác $$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AK) mà $$ (vì $$ nên $$. Từ đây ta có $$ nên $$. Mà $$ (đường kính gấp đôi khoảng cách từ tâm đến dây cung) nên $$. Vậy $$. Bài 18: Để chứng minh tứ giác AMBH là hình bình hành và H, I, M thẳng hàng, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh tứ giác AMBH là hình bình hành: - Ta biết rằng trong tam giác ABC, đường cao AD và BE cắt nhau tại H. - Ta cũng biết rằng đường kính CM của đường tròn ngoại tiếp (O) đi qua tâm O của đường tròn. Do đó, ta cần chứng minh rằng AM // BH và AB // MH. - Vì CM là đường kính của đường tròn ngoại tiếp (O), nên góc CMA là góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Do đó, góc CMA = 90°. - Ta cũng biết rằng góc ADB = 90° (vì AD là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC). - Từ đây, ta thấy rằng góc CMA và góc ADB đều là góc vuông, do đó AM // BH. - Tiếp theo, ta cần chứng minh AB // MH. - Vì I là trung điểm của AB, nên AI = IB. - Ta cũng biết rằng trong tam giác ABC, đường cao BE hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC, và đường cao AD hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. - Do đó, ta có thể thấy rằng góc AEB = 90° và góc ADB = 90°. - Từ đây, ta thấy rằng góc AEB và góc ADB đều là góc vuông, do đó AB // MH. Vậy, ta đã chứng minh được rằng AM // BH và AB // MH, do đó tứ giác AMBH là hình bình hành. 2. Chứng minh H, I, M thẳng hàng: - Ta đã biết rằng I là trung điểm của AB, do đó AI = IB. - Ta cũng biết rằng trong tam giác ABC, đường cao AD và BE cắt nhau tại H. - Do đó, ta có thể thấy rằng H nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của AB và trung điểm của CM. - Từ đây, ta thấy rằng H, I và M thẳng hàng. Vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác AMBH là hình bình hành và H, I, M thẳng hàng.