giải tự luận ngắn Câu 19,Cho $(u_n)$ là cấp số cộng biết $u_3+u_{13}=80.$ Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng,A. 800. B. 600. C. 570. D. 630

Question

Accepted Answer

Trước tiên, ta cần nhớ rằng trong một cấp số cộng, tổng của hai số hạng ở hai vị trí đối xứng so với trung điểm sẽ bằng nhau.

Ta có:
$$ u_3 + u_{13} = 80 $$

Vì đây là cấp số cộng, nên ta có thể viết:
$$ u_3 = u_1 + 2d $$
$$ u_{13} = u_1 + 12d $$

Do đó:
$$ u_3 + u_{13} = (u_1 + 2d) + (u_1 + 12d) = 2u_1 + 14d = 80 $$

Bây giờ, ta cần tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. Công thức tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là:
$$ S_n = \frac{n}{2} \times (u_1 + u_n) $$

Áp dụng vào bài toán, ta có:
$$ S_{15} = \frac{15}{2} \times (u_1 + u_{15}) $$

Vì $ u_{15} = u_1 + 14d $, nên:
$$ u_1 + u_{15} = u_1 + (u_1 + 14d) = 2u_1 + 14d $$

Như đã thấy trước đó, $ 2u_1 + 14d = 80 $. Do đó:
$$ u_1 + u_{15} = 80 $$

Thay vào công thức tổng:
$$ S_{15} = \frac{15}{2} \times 80 = 15 \times 40 = 600 $$

Vậy tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là 600.

Đáp án đúng là: B. 600.