chứng minh trong tam giác vuông cân cạnh huyền luôn là số vô tỉ

Question

Accepted Answer

Trong tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông bằng nhau và cạnh huyền là đường chéo của hình vuông có cạnh bằng cạnh góc vuông.

Gọi cạnh góc vuông là $ a $. Theo định lý Pythagoras (nhưng chúng ta sẽ không sử dụng nó trực tiếp), cạnh huyền $ c $ của tam giác vuông cân sẽ là:
$$ c = a\sqrt{2} $$

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng $ \sqrt{2} $ là số vô tỉ.

Chứng minh $ \sqrt{2} $ là số vô tỉ:

Giả sử $ \sqrt{2} $ là số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên $ p $ và $ q $ (với $ q \neq 0 $) sao cho:
$$ \sqrt{2} = \frac{p}{q} $$
Trong đó $ \frac{p}{q} $ là phân số tối giản, tức là $ p $ và $ q $ không có ước chung nào khác 1.

Bình phương cả hai vế, ta có:
$$ 2 = \frac{p^2}{q^2} $$
Nhân cả hai vế với $ q^2 $:
$$ 2q^2 = p^2 $$

Từ đây, ta thấy rằng $ p^2 $ là số chẵn (vì nó bằng 2 lần một số nguyên). Do đó, $ p $ cũng phải là số chẵn (vì bình phương của một số lẻ là số lẻ). Giả sử $ p = 2k $ (với $ k $ là số nguyên).

Thay $ p = 2k $ vào phương trình $ 2q^2 = p^2 $:
$$ 2q^2 = (2k)^2 $$
$$ 2q^2 = 4k^2 $$
Chia cả hai vế cho 2:
$$ q^2 = 2k^2 $$

Từ đây, ta thấy rằng $ q^2 $ là số chẵn, do đó $ q $ cũng phải là số chẵn.

Như vậy, cả $ p $ và $ q $ đều là số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng $ \frac{p}{q} $ là phân số tối giản (vì cả $ p $ và $ q $ đều chia hết cho 2).

Do đó, giả sử ban đầu là sai. Vậy $ \sqrt{2} $ không phải là số hữu tỉ, mà là số vô tỉ.

Vì $ c = a\sqrt{2} $, nếu $ a $ là số hữu tỉ thì $ c $ sẽ là số vô tỉ (vì tích của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là số vô tỉ).

Vậy cạnh huyền của tam giác vuông cân luôn là số vô tỉ.