Giúp mình với! $Bài~3A=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-2}+\frac2{\sqrt x+3}-\frac{9\sqrt x-3}{x+\sqrt x-6};B=\frac{x-\sqrt x+1}{\sqrt x-1}$,$với~x\geq0;x
e1,~x
e4$,$a)~Rút~gọn~A$,$b)~Tính~A~Khi~x~TM~(x-5)^2=64$,$c)~CM:~A0~thì~B3$

Question

Giúp mình với! $Bài~3A=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-2}+\frac2{\sqrt x+3}-\frac{9\sqrt x-3}{x+\sqrt x-6};B=\frac{x-\sqrt x+1}{\sqrt x-1}$,$với~x\geq0;x
e1,~x
e4$,$a)~Rút~gọn~A$,$b)~Tính~A~Khi~x~TM~(x-5)^2=64$,$c)~CM:~A>0~thì~B>3$

Accepted Answer

Bài 3
Điều kiện xác định: $ x \geq 0; x \neq 1; x \neq 4 $

a) Rút gọn $ A $:

Ta có:
$$ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{9\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} - 6} $$

Nhận thấy rằng $ x + \sqrt{x} - 6 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2) $, ta có thể viết lại $ A $ như sau:
$$ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{9\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} $$

Tìm mẫu chung là $ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2) $:
$$ A = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3) + 2(\sqrt{x} - 2) - (9\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} $$

Rút gọn tử số:
$$ (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3) = x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3 = x + 4\sqrt{x} + 3 $$
$$ 2(\sqrt{x} - 2) = 2\sqrt{x} - 4 $$
$$ -(9\sqrt{x} - 3) = -9\sqrt{x} + 3 $$

Cộng các biểu thức trên:
$$ x + 4\sqrt{x} + 3 + 2\sqrt{x} - 4 - 9\sqrt{x} + 3 = x - 3\sqrt{x} + 2 $$

Do đó:
$$ A = \frac{x - 3\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} $$

b) Tính $ A $ khi $ x $ thỏa mãn $ (x - 5)^2 = 64 $:

Giải phương trình:
$$ (x - 5)^2 = 64 $$
$$ x - 5 = \pm 8 $$

Vậy:
$$ x - 5 = 8 \Rightarrow x = 13 $$
$$ x - 5 = -8 \Rightarrow x = -3 $$ (loại vì $ x \geq 0 $)

Thay $ x = 13 $ vào biểu thức $ A $:
$$ A = \frac{13 - 3\sqrt{13} + 2}{(\sqrt{13} + 3)(\sqrt{13} - 2)} $$
$$ A = \frac{15 - 3\sqrt{13}}{(\sqrt{13} + 3)(\sqrt{13} - 2)} $$

c) Chứng minh $ A > 0 $ thì $ B > 3 $:

Giả sử $ A > 0 $:
$$ \frac{x - 3\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} > 0 $$

Phân tích tử số:
$$ x - 3\sqrt{x} + 2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) $$

Do đó:
$$ \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} > 0 $$
$$ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} > 0 $$

Điều này đúng khi $ \sqrt{x} > 1 $ (vì $ \sqrt{x} + 3 > 0 $).

Bây giờ xét $ B $:
$$ B = \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} $$

Chia cả tử và mẫu cho $ \sqrt{x} - 1 $:
$$ B = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1) + 1}{\sqrt{x} - 1} $$
$$ B = \sqrt{x} - 1 + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} $$

Vì $ \sqrt{x} > 1 $, ta có:
$$ \sqrt{x} - 1 > 0 $$
$$ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} > 0 $$

Do đó:
$$ B > 1 + 0 = 1 $$

Tuy nhiên, để chứng minh $ B > 3 $, ta cần thêm một bước nữa:
$$ B = \sqrt{x} - 1 + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} $$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$ \sqrt{x} - 1 + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{x} - 1}} = 2 $$

Vì $ \sqrt{x} - 1 > 1 $, ta có:
$$ \sqrt{x} - 1 + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} > 2 $$

Do đó:
$$ B > 3 $$

Kết luận:
$$ A > 0 \Rightarrow B > 3 $$