Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F.
AH
a. Chứng minh rằng: BM = ND.
b. Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?
d. chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.

Question

annhien57 · Accepted Answer

a, Có AMHN là hình vuông (gt)

$\displaystyle \widehat{A2} =90^{0}$ ( t/c) ,$\displaystyle \widehat{NAD} =90^{0} -\widehat{DAM}$

Có ABCD là hình vuông (gt)

$\displaystyle \widehat{A1} =90^{0}$(t/c)$\displaystyle ,\ \widehat{BAM} =90^{0} -\widehat{DAM}$

Suy ra $\displaystyle \widehat{NAD} =\widehat{BAM}$

Xét 2 tam giác AND và AMB

Có AN=AM ( vì AMHN là hình vuông )

AD=AB ( vì ABCD là hình vuông )

$\displaystyle \widehat{NAD} =\widehat{BAM}$ ( chứng minh trên )

Tam giác AND=AMB (c.g.c)

Suy ra BM = ND

b, Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN suy ra O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN

Suy ra AH là đường trung trực của đoạn MN

mà EF thuộc AH

Suy ra: EN=EM và HM=FN (3)

$\displaystyle \Delta EOM=\Delta FON$(OM=ON;$\displaystyle \widehat{N1} =\widehat{M3}$)
$ \widehat{AOM} =\widehat{NOH} , EM=NE$(4)
Từ (3) và (4) suy ra EM=NE=NF=FM
MENF là hình thoi

Timi · Answer

a. Chứng minh rằng: BM = ND.

- Ta thấy rằng $ABCD$ là hình vuông nên $AB = AD$.
- $AMHN$ cũng là hình vuông nên $AM = AN$.
- Xét hai tam giác $ABM$ và $ADN$:
  - $AB = AD$ (vì $ABCD$ là hình vuông)
  - $AM = AN$ (vì $AMHN$ là hình vuông)
  - Góc $BAM =$ góc $DAN$ (cùng bằng góc $MAN$)
- Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có $ \triangle ABM = \triangle ADN $.
- Do đó, $BM = ND$.

b. Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?

- Ta thấy rằng $d$ song song với $AB$, do đó $d$ cũng song song với $DC$ (vì $AB$ song song với $DC$).
- $E$ nằm trên $AH$ và $F$ nằm trên $DC$, do đó $EF$ song song với $ND$ (vì $d$ song song với $AB$).
- $EM$ và $MF$ đều là đoạn thẳng nối các đỉnh của các hình vuông $AMHN$ và $ABCD$, do đó $EM$ và $MF$ cũng song song với nhau.
- Vậy tứ giác $EMFN$ là hình bình hành (vì hai cặp cạnh đối song song).

c. Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.

- Ta thấy rằng $M$ nằm trên cạnh $BC$ của hình vuông $ABCD$, do đó $MC$ luôn bằng $BC - BM$.
- $F$ nằm trên cạnh $DC$ và $d$ song song với $AB$, do đó $FC$ luôn bằng $DC - DF$.
- $DF = BM$ (vì $d$ song song với $AB$ và $BM = ND$).
- Vậy $FC = DC - DF = DC - BM$.
- $MC = BC - BM$.
- $MF$ luôn bằng $ND$ (vì $d$ song song với $AB$ và $BM = ND$).

Do đó, chu vi của tam giác $MFC$ là:
$$ MC + FC + MF = (BC - BM) + (DC - BM) + ND $$
$$ = BC + DC - 2BM + ND $$
$$ = BC + DC - 2BM + BM $$ (vì $BM = ND$)
$$ = BC + DC - BM $$

Vì $BC$ và $DC$ là các cạnh cố định của hình vuông $ABCD$, nên chu vi của tam giác $MFC$ không đổi khi $M$ thay đổi vị trí trên $BC$.

Đáp số: 
a. $BM = ND$.
b. Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành.
c. Chu vi tam giác $MFC$ không đổi khi $M$ thay đổi vị trí trên $BC$.

Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F. AH a. Chứng minh rằng: BM...