Cho A(1;2;-1),B(0;-2;3). Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ O của tam giác OAB.

Question

thao-vynguyen245 · Accepted Answer

Gọi $H(x; y; z)$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $OB$.
Ta có $\overrightarrow{BH} = (x; y+2; z-3)$ và $\overrightarrow{BO} = (0; 2; -3)$.

Vì $H \in OB$ và $\overrightarrow{BH}$ cùng phương với $\overrightarrow{BO}$ nên $\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BO}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x = 0 \
y + 2 = 2k \
z - 3 = -3k
\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x = 0 \
y = 2k - 2 \
z = -3k + 3
\end{array} ight.$

Do đó $H(0; 2k-2; -3k+3)$.

Suy ra $\overrightarrow{AH} = (-1; 2k - 2 - 2; -3k + 3 + 1)$ hay $\overrightarrow{AH} = (-1; 2k - 4; -3k + 4)$.

Vì $\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BO}$ nên $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BO} = 0$

$\Leftrightarrow (-1) \cdot 0 + (2k - 4) \cdot 2 + (-3k + 4) \cdot (-3) = 0$

$\Leftrightarrow 13k = 20$

$\Leftrightarrow k = \dfrac{20}{13}.$

Suy ra $H \left(0; \dfrac{14}{13}; \dfrac{-21}{13} ight)$

Timi · Answer

Để tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ O của tam giác OAB, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ AB:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1, -2 - 2, 3 + 1) = (-1, -4, 4)
   $$

2. Tìm vectơ OA:
   $$
   \overrightarrow{OA} = A - O = (1 - 0, 2 - 0, -1 - 0) = (1, 2, -1)
   $$

3. Tìm vectơ OB:
   $$
   \overrightarrow{OB} = B - O = (0 - 0, -2 - 0, 3 - 0) = (0, -2, 3)
   $$

4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB):
   Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là tích vector của $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$:
   $$
   \overrightarrow{n} = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}
   $$
   Ta tính:
   $$
   \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   1 & 2 & -1 \
   0 & -2 & 3
   \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-2) - 2 \cdot 0)
   $$
   $$
   = \mathbf{i}(6 - 2) - \mathbf{j}(3 - 0) + \mathbf{k}(-2 - 0) = 4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}
   $$
   Vậy:
   $$
   \overrightarrow{n} = (4, -3, -2)
   $$

5. Phương trình đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB):
   Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n} = (4, -3, -2)$. Phương trình tham số của đường thẳng d là:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 4t \
   y = -3t \
   z = -2t
   \end{array}
   \right.
   $$

6. Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (OAB):
   Mặt phẳng (OAB) có phương trình:
   $$
   4x - 3y - 2z = 0
   $$
   Thay tọa độ của điểm trên đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng:
   $$
   4(4t) - 3(-3t) - 2(-2t) = 0
   $$
   $$
   16t + 9t + 4t = 0
   $$
   $$
   29t = 0
   $$
   $$
   t = 0
   $$
   Thay $ t = 0 $ vào phương trình tham số của đường thẳng d:
   $$
   x = 4 \cdot 0 = 0 \
   y = -3 \cdot 0 = 0 \
   z = -2 \cdot 0 = 0
   $$
   Vậy tọa độ chân đường cao kẻ từ O của tam giác OAB là:
   $$
   (0, 0, 0)
   $$

Đáp số: Chân đường cao kẻ từ O của tam giác OAB là $(0, 0, 0)$.