Sjeneneensjsnsn

Câu 1: a) Mối liên hệ giữa x và y ở dữ kiện 1 là: Số cây cải bắp dự định trồng là xy (cây). Nếu tăng thêm 8 luống, mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây cải bắp trồng là (x + 8)(y - 3) (cây). Theo đề bài ta có: xy - (x + 8)(y - 3) = 108 xy - (xy - 3x + 8y - 24) = 108 3x - 8y + 24 = 108 3x - 8y = 84 b) Mối liên hệ giữa x và y ở dữ kiện 2 là: Nếu giảm đi 4 luống, mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cây cải bắp trồng là (x - 4)(y + 2) (cây). Theo đề bài ta có: (x - 4)(y + 2) - xy = 64 (xy + 2x - 4y - 8) - xy = 64 2x - 4y - 8 = 64 x - 2y = 36 c) Biểu thức tính số cây bắp cải dự định trồng trên mảnh vườn là: Số cây cải bắp dự định trồng là xy (cây). d) Số cây cải bắp dự định được trồng trên mảnh vườn vượt quá 1 000 cây: Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3x - 8y = 84 \\ x - 2y = 36 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ hai với 4 rồi trừ cho phương trình thứ nhất: \[ 4(x - 2y) - (3x - 8y) = 4 \times 36 - 84 \\ 4x - 8y - 3x + 8y = 144 - 84 \\ x = 60 \] Thay x = 60 vào phương trình thứ hai: \[ 60 - 2y = 36 \\ 2y = 24 \\ y = 12 \] Vậy số cây cải bắp dự định trồng là: \[ xy = 60 \times 12 = 720 \] Số cây cải bắp dự định trồng vượt quá 1 000 cây, do đó không thỏa mãn điều kiện của đề bài. Câu 2: a) Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn x với $m\in\mathbb R$ tùy ý. b) Khi $m=1,$ bất phương trình trên có nghiệm là $x\leq8.$ Thay $m=1$ vào bất phương trình, ta có: \[ 1(2x + 1) < 8 \] \[ 2x + 1 < 8 \] \[ 2x < 7 \] \[ x < \frac{7}{2} \] Do đó, nghiệm của bất phương trình là $x < \frac{7}{2}$, không phải là $x \leq 8$. Vậy câu này sai. c) Khi $m=-1,$ bất phương trình trên có nghiệm là $x>\frac{-9}{2}.$ Thay $m=-1$ vào bất phương trình, ta có: \[ -1(2x + 1) < 8 \] \[ -2x - 1 < 8 \] \[ -2x < 9 \] \[ x > -\frac{9}{2} \] Do đó, nghiệm của bất phương trình là $x > -\frac{9}{2}$. Vậy câu này đúng. d) Khi $m=-2,$ bất phương trình trên có nghiệm nguyên nhỏ nhất là -2. Thay $m=-2$ vào bất phương trình, ta có: \[ -2(2x + 1) < 8 \] \[ -4x - 2 < 8 \] \[ -4x < 10 \] \[ x > -\frac{10}{4} \] \[ x > -\frac{5}{2} \] Do đó, nghiệm của bất phương trình là $x > -\frac{5}{2}$. Nghiệm nguyên nhỏ nhất là -2. Vậy câu này đúng. Kết luận: - Câu a) đúng. - Câu b) sai. - Câu c) đúng. - Câu d) đúng. Câu 1: Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l} ax + 6y = 5 \\ 5x + by = 4 \end{array}\right.\) nhận cặp số \((2, -1)\) làm nghiệm, ta thay \(x = 2\) và \(y = -1\) vào hệ phương trình. Thay vào phương trình đầu tiên: \[ a(2) + 6(-1) = 5 \] \[ 2a - 6 = 5 \] \[ 2a = 5 + 6 \] \[ 2a = 11 \] \[ a = \frac{11}{2} \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 5(2) + b(-1) = 4 \] \[ 10 - b = 4 \] \[ -b = 4 - 10 \] \[ -b = -6 \] \[ b = 6 \] Bây giờ, ta tính tổng bình phương của \(a\) và \(b\): \[ a^2 + b^2 = \left(\frac{11}{2}\right)^2 + 6^2 \] \[ = \frac{121}{4} + 36 \] \[ = \frac{121}{4} + \frac{144}{4} \] \[ = \frac{265}{4} \] \[ = 66.25 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: \[ 66.25 \approx 66 \] Vậy tổng bình phương của \(a\) và \(b\) là 66. Câu 2: Gọi thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc là \( x \) giờ và thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc là \( y \) giờ. Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được \( \frac{1}{x} \) phần công việc và người thứ hai làm được \( \frac{1}{y} \) phần công việc. Theo đề bài, hai người cùng làm trong 7 giờ 12 phút (tức là 7,2 giờ) thì xong công việc: \[ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times 7,2 = 1 \] Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ và người thứ hai làm trong 3 giờ thì được 50% công việc: \[ \left( \frac{4}{x} + \frac{3}{y} \right) = 0,5 \] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times 7,2 = 1 \\ \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 0,5 \end{cases} \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7,2} = \frac{5}{36} \] Gọi \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \), ta có: \[ a + b = \frac{5}{36} \] \[ 4a + 3b = 0,5 \] Ta giải hệ phương trình này: \[ \begin{cases} a + b = \frac{5}{36} \\ 4a + 3b = 0,5 \end{cases} \] Nhân phương trình đầu tiên với 3: \[ 3a + 3b = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \] Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình mới: \[ (4a + 3b) - (3a + 3b) = 0,5 - \frac{5}{12} \] \[ a = \frac{6}{12} - \frac{5}{12} = \frac{1}{12} \] Thay \( a = \frac{1}{12} \) vào phương trình \( a + b = \frac{5}{36} \): \[ \frac{1}{12} + b = \frac{5}{36} \] \[ b = \frac{5}{36} - \frac{1}{12} = \frac{5}{36} - \frac{3}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \] Vậy \( \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \) và \( \frac{1}{y} = \frac{1}{18} \). Do đó, thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc là: \[ x = 12 \text{ giờ} \] Đáp số: 12 giờ. Câu 3: Để tính độ dài cạnh BC của tam giác ABC vuông tại A, ta sẽ áp dụng các tính chất của tam giác vuông và đường cao hạ từ đỉnh vuông góc. Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết: - AB = 12 cm - BH = 4 cm Bước 2: Áp dụng tính chất đường cao hạ từ đỉnh vuông góc của tam giác vuông: - Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH tạo thành hai tam giác vuông nhỏ là AHB và AHC. - Theo tính chất tam giác vuông, ta có: \(AH^2 = BH \times HC\) Bước 3: Tìm độ dài HC: - Vì \(BC = BH + HC\), ta cần tìm HC trước. - Ta biết \(AB^2 = AH^2 + BH^2\) (theo định lý Pythagoras trong tam giác AHB) - Thay các giá trị vào: \(12^2 = AH^2 + 4^2\) - \(144 = AH^2 + 16\) - \(AH^2 = 128\) - \(AH = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\) cm Bước 4: Tìm độ dài HC: - \(AH^2 = BH \times HC\) - \(128 = 4 \times HC\) - \(HC = \frac{128}{4} = 32\) cm Bước 5: Tính độ dài BC: - \(BC = BH + HC = 4 + 32 = 36\) cm Vậy độ dài cạnh BC là 36 cm. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn, cụ thể là tỉ số lượng giác của góc $60^\circ$. Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan: - Khoảng cách từ người đứng đến chân tháp là 15 m. - Góc nhìn lên đỉnh tháp là $60^\circ$. - Chiều cao từ mắt người đến chân người là 1,6 m. Bước 2: Xác định chiều cao của tháp: - Gọi chiều cao của tháp là \( h \) (m). - Chiều cao từ mắt người đến đỉnh tháp là \( h - 1,6 \) (m). Bước 3: Áp dụng tỉ số lượng giác của góc $60^\circ$: - Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc $60^\circ$ là $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$. - Ta có: \[ \tan(60^\circ) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} \] \[ \sqrt{3} = \frac{h - 1,6}{15} \] Bước 4: Giải phương trình để tìm \( h \): \[ h - 1,6 = 15 \times \sqrt{3} \] \[ h - 1,6 = 15 \times 1,732 \] (vì $\sqrt{3} \approx 1,732$) \[ h - 1,6 = 25,98 \] \[ h = 25,98 + 1,6 \] \[ h = 27,58 \] Bước 5: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ h \approx 28 \text{ m} \] Vậy chiều cao của tháp là 28 m. Câu 5: Gọi số tờ tiền mệnh giá 2 000 đồng là x (tờ, điều kiện: x ≥ 0) Gọi số tờ tiền mệnh giá 5 000 đồng là y (tờ, điều kiện: y ≥ 0) Theo đề bài, ta có: \[ x + y = 15 \] \[ 2000x + 5000y \leq 60000 \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ x = 15 - y \] Thay vào bất đẳng thức thứ hai: \[ 2000(15 - y) + 5000y \leq 60000 \] \[ 30000 - 2000y + 5000y \leq 60000 \] \[ 30000 + 3000y \leq 60000 \] \[ 3000y \leq 30000 \] \[ y \leq 10 \] Vậy số tờ tiền mệnh giá 5 000 đồng nhiều nhất là 10 tờ. Đáp số: 10 tờ tiền mệnh giá 5 000 đồng. Câu 6: Để tính tổng hai nghiệm của phương trình $x^2 - 8x + 12 = 0$, ta sử dụng công thức Viète. Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Theo công thức Viète: - Tổng của hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ - Tích của hai nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ Áp dụng vào phương trình $x^2 - 8x + 12 = 0$: - $a = 1$ - $b = -8$ - $c = 12$ Tổng của hai nghiệm: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8 \] Vậy tổng của hai nghiệm của phương trình $x^2 - 8x + 12 = 0$ là 8.