tự luận ngắn

Anh Hùng để dành được 10 triệu đồng trong tháng đầu tiên. Mỗi tháng tiếp theo, số tiền để dành tăng thêm 2 triệu đồng so với tháng liền trước đó. Ta có thể coi số tiền để dành mỗi tháng là một dãy sốithmetic với: - Số hạng đầu tiên \(a_1 = 10\) triệu đồng. - Công sai \(d = 2\) triệu đồng. Số tiền để dành sau \(n\) tháng là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy sốithmetic này. Công thức tính tổng \(S_n\) của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy sốithmetic là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] Thay \(a_1 = 10\) và \(d = 2\) vào công thức trên, ta có: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \times 10 + (n-1) \times 2\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(20 + 2n - 2\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2n + 18\right) \] \[ S_n = n(n + 9) \] Anh Hùng cần ít nhất 142 triệu đồng để mua cây đàn piano. Vậy ta cần tìm \(n\) sao cho \(S_n \geq 142\): \[ n(n + 9) \geq 142 \] Ta thử các giá trị \(n\) để tìm giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên: - Nếu \(n = 10\): \[ 10(10 + 9) = 10 \times 19 = 190 \] 190 > 142, nên \(n = 10\) thỏa mãn. - Nếu \(n = 9\): \[ 9(9 + 9) = 9 \times 18 = 162 \] 162 > 142, nên \(n = 9\) cũng thỏa mãn. - Nếu \(n = 8\): \[ 8(8 + 9) = 8 \times 17 = 136 \] 136 < 142, nên \(n = 8\) không thỏa mãn. Vậy giá trị nhỏ nhất của \(n\) thỏa mãn điều kiện là \(n = 9\). Đáp số: Tháng thứ 9. Câu 4. Số vi khuẩn sau mỗi phút tăng gấp đôi, nghĩa là số lượng vi khuẩn sau mỗi phút sẽ nhân lên gấp đôi so với số lượng ban đầu. Biết rằng sau 5 phút số lượng vi khuẩn là 64000 con, ta có thể suy ra số lượng vi khuẩn ban đầu bằng cách chia liên tiếp số lượng vi khuẩn sau 5 phút cho 2 trong 5 lần. Số lượng vi khuẩn ban đầu là: \[ 64000 : 2^5 = 64000 : 32 = 2000 \text{ con} \] Bây giờ, ta cần tìm số phút để số lượng vi khuẩn đạt 2048000 con. Ta sẽ tính số lần nhân lên gấp đôi từ 2000 con đến 2048000 con. Ta có: \[ 2048000 = 2000 \times 2^n \] \[ 2^n = \frac{2048000}{2000} = 1024 \] \[ 2^n = 2^{10} \] \[ n = 10 \] Vậy, số phút để số lượng vi khuẩn đạt 2048000 con là: \[ 10 \text{ phút} \] Đáp số: 10 phút.