Giúp mình với ạ

Câu 8. Để giải quyết các giới hạn trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Giới hạn thứ nhất: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + ... + 3^n} \] Bước 1: Xác định tổng của dãy số ở tử và mẫu. Tử số là tổng của dãy số lũy thừa cơ số 2: \[ 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n = \sum_{k=0}^{n} 2^k \] Mẫu số là tổng của dãy số lũy thừa cơ số 3: \[ 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^n = \sum_{k=0}^{n} 3^k \] Bước 2: Áp dụng công thức tổng của dãy số lũy thừa. Công thức tổng của dãy số lũy thừa là: \[ \sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1} \] Áp dụng vào tử số: \[ \sum_{k=0}^{n} 2^k = \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1 \] Áp dụng vào mẫu số: \[ \sum_{k=0}^{n} 3^k = \frac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n+1} - 1}{2} \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu và tính giới hạn. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} - 1}{\frac{3^{n+1} - 1}{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(2^{n+1} - 1)}{3^{n+1} - 1} \] Khi \( n \to \infty \), \( 2^{n+1} \) và \( 3^{n+1} \) đều tăng rất nhanh, nhưng \( 3^{n+1} \) tăng nhanh hơn \( 2^{n+1} \). Do đó, phần tử số \( 2^{n+1} \) sẽ bị "nuốt chửng" bởi phần mẫu số \( 3^{n+1} \). \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(2^{n+1})}{3^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} 2 \left( \frac{2}{3} \right)^{n+1} = 0 \] Vậy: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + ... + 3^n} = 0 \] Giới hạn thứ hai: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n(n+1)} \right) \] Bước 1: Xác định dạng tổng của dãy số. Ta nhận thấy rằng mỗi phân số có thể viết dưới dạng: \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \] Bước 2: Viết tổng dưới dạng tổng của các phân số. \[ \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \] Bước 3: Tính tổng này. Khi ta viết ra các hạng mục trong tổng, ta nhận thấy rằng đây là một tổng thuần nhất (telescoping series): \[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + ... + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] Những phân số giữa sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại: \[ 1 - \frac{1}{n+1} \] Bước 4: Tính giới hạn. \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - 0 = 1 \] Vậy: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n(n+1)} \right) = 1 \] Kết luận: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + ... + 3^n} = 0 \] \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n(n+1)} \right) = 1 \] Câu 9. Dãy số đã cho là dãy số lẻ vô hạn với các số hạng thay đổi dấu theo quy luật. Ta nhận thấy đây là dãy số hình học với công bội \( q = -\frac{1}{2} \). Công thức tính tổng của dãy số hình học vô hạn là: \[ S = \frac{a_1}{1 - q} \] Trong đó: - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên của dãy số. - \( q \) là công bội của dãy số. Áp dụng vào bài toán: - Số hạng đầu tiên \( a_1 = 1 \) - Công bội \( q = -\frac{1}{2} \) Thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \] Vậy tổng của dãy số là: \[ S = \frac{2}{3} \] Câu 10. Để tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \( T = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^n} + ... \), ta làm như sau: Cấp số nhân lùi vô hạn có dạng \( a + aq + aq^2 + ... \), trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên và \( q \) là công bội. Trong bài toán này: - Số hạng đầu tiên \( a = 1 \) - Công bội \( q = \frac{1}{3} \) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Áp dụng công thức trên vào bài toán: \[ T = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \] Rút gọn biểu thức: \[ T = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{1 \times 3}{2} = \frac{3}{2} \] Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: \[ T = \frac{3}{2} \] Câu 12. Để tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta cần biết công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Công thức này là: \[ S = \frac{u_1}{1 - q} \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân. - \( q \) là công bội của cấp số nhân, với điều kiện \( |q| < 1 \). Bây giờ, ta sẽ áp dụng công thức này để tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Giả sử cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công bội \( q \) (với \( |q| < 1 \)). Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công bội \( q \). Bước 2: Kiểm tra điều kiện \( |q| < 1 \). Nếu điều kiện này thỏa mãn, ta tiếp tục thực hiện các bước sau. Bước 3: Thay \( u_1 \) và \( q \) vào công thức \( S = \frac{u_1}{1 - q} \). Bước 4: Tính toán để tìm giá trị của \( S \). Ví dụ cụ thể: Giả sử cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên \( u_1 = 2 \) và công bội \( q = \frac{1}{3} \). Bước 1: Xác định \( u_1 = 2 \) và \( q = \frac{1}{3} \). Bước 2: Kiểm tra điều kiện \( |q| < 1 \): \[ \left| \frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3} < 1 \] Điều kiện thỏa mãn. Bước 3: Thay \( u_1 \) và \( q \) vào công thức: \[ S = \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} \] Bước 4: Tính toán: \[ S = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 2 \times \frac{3}{2} = 3 \] Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là \( 3 \). Đáp số: \( 3 \) Câu 13. Đầu tiên, chúng ta cần tính chu vi của hình vuông ban đầu ABCD. Vì độ dài mỗi cạnh của hình vuông ABCD là 2, nên chu vi của nó là: \[ P_1 = 4 \times 2 = 8 \] Tiếp theo, chúng ta nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông ABCD để tạo ra hình vuông thứ hai. Độ dài mỗi cạnh của hình vuông thứ hai sẽ là nửa độ dài của đường chéo của hình vuông ban đầu. Đường chéo của hình vuông ban đầu là: \[ d = 2\sqrt{2} \] Do đó, độ dài mỗi cạnh của hình vuông thứ hai là: \[ a_2 = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] Chu vi của hình vuông thứ hai là: \[ P_2 = 4 \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \] Chúng ta tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để tạo ra hình vuông thứ ba. Độ dài mỗi cạnh của hình vuông thứ ba sẽ là nửa độ dài của đường chéo của hình vuông thứ hai. Đường chéo của hình vuông thứ hai là: \[ d_2 = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \] Do đó, độ dài mỗi cạnh của hình vuông thứ ba là: \[ a_3 = \frac{d_2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Chu vi của hình vuông thứ ba là: \[ P_3 = 4 \times 1 = 4 \] Chúng ta thấy rằng chu vi của mỗi hình vuông tiếp theo giảm dần theo tỷ lệ $\frac{1}{2}$ so với chu vi của hình vuông trước đó. Do đó, chu vi của các hình vuông tạo thành một dãy số geometric với công bội $\frac{1}{2}$. Tổng chu vi của dãy các hình vuông là: \[ S = P_1 + P_2 + P_3 + \cdots \] \[ S = 8 + 4\sqrt{2} + 4 + \cdots \] Đây là một dãy số geometric vô hạn với số hạng đầu tiên $a = 8$ và công bội $r = \frac{1}{2}$. Tổng của dãy số geometric vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 8 \times 2 \] \[ S = 16 \] Vậy tổng chu vi của dãy các hình vuông là: \[ \boxed{16} \]