giúp e vớiiiiiii Câu 12. Cho hàm số $y=\frac{-x^2+3x+2}{x+1}.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1).$,,
b),Hàm số có 2 điểm cực trị.,,
c),Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1;3] tại $x=1.$,,
d),Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.,,

Question

giúp e vớiiiiiii Câu 12. Cho hàm số $y=\frac{-x^2+3x+2}{x+1}.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1).$,,
b),Hàm số có 2 điểm cực trị.,,
c),Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1;3] tại $x=1.$,,
d),Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.,,

Accepted Answer

Câu 12. Để giải quyết các mệnh đề về hàm số $y=\frac{-x^2+3x+2}{x+1}$, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1)$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{-x^2 + 3x + 2}{x + 1} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{(-2x + 3)(x + 1) - (-x^2 + 3x + 2)}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{-2x^2 - 2x + 3x + 3 + x^2 - 3x - 2}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} $$ Phân tích dấu của đạo hàm: $$ y' = \frac{-(x^2 + 2x - 1)}{(x + 1)^2} $$ Ta thấy rằng $(x + 1)^2$ luôn dương khi $x \neq -1$. Do đó, dấu của $y'$ phụ thuộc vào dấu của $-x^2 - 2x + 1$. Giải phương trình $-x^2 - 2x + 1 = 0$: $$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$ Do đó, $-x^2 - 2x + 1 > 0$ khi $x \in (-1 - \sqrt{2}, -1 + \sqrt{2})$. Trên khoảng $(-2, -1)$, ta thấy $-1 - \sqrt{2} < -2 < -1 < -1 + \sqrt{2}$. Vì vậy, $-x^2 - 2x + 1 > 0$ trên khoảng này, suy ra $y' > 0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-2, -1)$. Mệnh đề a đúng. Mệnh đề b: Hàm số có 2 điểm cực trị Điểm cực trị xảy ra khi đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Ta đã tìm được các nghiệm của $y' = 0$ là $x = -1 \pm \sqrt{2}$. Kiểm tra các điểm này: - $x = -1 - \sqrt{2}$ nằm ngoài miền xác định của hàm số vì nó làm mẫu số bằng 0. - $x = -1 + \sqrt{2}$ nằm trong miền xác định của hàm số. Do đó, chỉ có một điểm cực trị là $x = -1 + \sqrt{2}$. Mệnh đề b sai. Mệnh đề c: Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1;3] tại $x=1$ Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn [1;3]: - Tại $x = 1$: $y = \frac{-1^2 + 3 \cdot 1 + 2}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$ - Tại $x = 3$: $y = \frac{-3^2 + 3 \cdot 3 + 2}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1;3] là 2, đạt được tại $x = 1$. Mệnh đề c đúng. Mệnh đề d: Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số được xác định bằng giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$: $$ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x^2 + 3x + 2}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x^2/x + 3x/x + 2/x}{x/x + 1/x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x + 3 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = -x $$ Khi $x \to \pm \infty$, biểu thức trên tiến đến $-\infty$, do đó không có tiệm cận ngang. Mệnh đề d sai. Kết luận: - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Sai - Mệnh đề c: Đúng - Mệnh đề d: Sai