giúpp e vớiiii Câu 10. Cho hàm số $y=\frac{x^2+3x+3}{x+2}$ có đồ thị là đường cong (C),Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),"Biết hàm số có 2 điểm cực trị khi đó tổng của giá trị cực đại và giá trị cực tiểu bằng
-4",,
b),Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0;1)$,,
c),"Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng $x-3y-6=0$ đi qua
điểm $B(-\frac32,\frac32)$",,
d),Để phương trình $x^2+3x+3=m|x+2|$ có 4 nghiệm phân biệt thì $m2$,,

Question

giúpp e vớiiii Câu 10. Cho hàm số $y=\frac{x^2+3x+3}{x+2}$ có đồ thị là đường cong (C),Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),"Biết hàm số có 2 điểm cực trị khi đó tổng của giá trị cực đại và giá trị cực tiểu bằng 
 -4",,
b),Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0;1)$,,
c),"Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng $x-3y-6=0$ đi qua 
 điểm $B(-\frac32,\frac32)$",,
d),Để phương trình $x^2+3x+3=m|x+2|$ có 4 nghiệm phân biệt thì $m>2$,,

Accepted Answer

Câu 10.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất và phương pháp đã học trong chương trình lớp 11.

Mệnh đề a:
Hàm số $y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}$ có dạng phân thức hữu tỷ. Để tìm các điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số này.

Tính đạo hàm:
$$ y' = \left(\frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}\right)' = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 7x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} $$

Đặt $y' = 0$ để tìm các điểm cực trị:
$$ \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = 0 $$
$$ x^2 + 4x + 3 = 0 $$
$$ (x + 1)(x + 3) = 0 $$
$$ x = -1 \text{ hoặc } x = -3 $$

Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:
$$ y(-1) = \frac{(-1)^2 + 3(-1) + 3}{-1 + 2} = \frac{1 - 3 + 3}{1} = 1 $$
$$ y(-3) = \frac{(-3)^2 + 3(-3) + 3}{-3 + 2} = \frac{9 - 9 + 3}{-1} = -3 $$

Tổng giá trị cực đại và cực tiểu:
$$ 1 + (-3) = -2 $$

Mệnh đề a sai vì tổng giá trị cực đại và cực tiểu không bằng -4.

Mệnh đề b:
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}$ được tìm bằng phép chia đa thức.

Chia $x^2 + 3x + 3$ cho $x + 2$:
$$ x^2 + 3x + 3 = (x + 2)(x + 1) + 1 $$
$$ y = x + 1 + \frac{1}{x + 2} $$

Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{x + 2} \to 0$, vậy đường tiệm cận xiên là $y = x + 1$. Đường này đi qua điểm $(0, 1)$.

Mệnh đề b đúng.

Mệnh đề c:
Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng $x - 3y - 6 = 0$ có hệ số góc là $-\frac{1}{3}$ (vì hệ số góc của đường thẳng $x - 3y - 6 = 0$ là $\frac{1}{3}$).

Tìm điểm trên đồ thị có đạo hàm bằng $-\frac{1}{3}$:
$$ y' = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = -\frac{1}{3} $$
$$ 3(x^2 + 4x + 3) = -(x + 2)^2 $$
$$ 3x^2 + 12x + 9 = -x^2 - 4x - 4 $$
$$ 4x^2 + 16x + 13 = 0 $$

Giải phương trình này:
$$ x = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 208}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{48}}{8} = \frac{-16 \pm 4\sqrt{3}}{8} = -2 \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Ta có hai điểm:
$$ x_1 = -2 + \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = -2 - \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Kiểm tra điểm $B(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$:
$$ y'(-\frac{3}{2}) = \frac{(-\frac{3}{2})^2 + 4(-\frac{3}{2}) + 3}{(-\frac{3}{2} + 2)^2} = \frac{\frac{9}{4} - 6 + 3}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{9}{4} - \frac{24}{4} + \frac{12}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = -3 \neq -\frac{1}{3} $$

Mệnh đề c sai.

Mệnh đề d:
Phương trình $x^2 + 3x + 3 = m|x + 2|$ có 4 nghiệm phân biệt khi $m > 2$.

Xét hai trường hợp:
1. $x + 2 \geq 0$: $x^2 + 3x + 3 = m(x + 2)$
2. $x + 2 < 0$: $x^2 + 3x + 3 = -m(x + 2)$

Để có 4 nghiệm phân biệt, mỗi phương trình phải có 2 nghiệm khác nhau và không trùng nhau. Điều này xảy ra khi $m > 2$.

Mệnh đề d đúng.

Kết luận:
- Mệnh đề a: Sai
- Mệnh đề b: Đúng
- Mệnh đề c: Sai
- Mệnh đề d: Đúng