Giúp mình với!

a) Ta có: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos(\alpha) \] b) Ta có: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \cot(\alpha) \] c) Ta có: \[ \cos\left(-\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha) \] và \[ \tan(\pi - \alpha) = -\tan(\alpha) \] Do đó: \[ \cos\left(-\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cdot \tan(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) \cdot (-\tan(\alpha)) = -\sin(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} \] d) Ta có: \[ \sin\left(\frac{14\pi}{9}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{4\pi}{9}\right) = \sin\left(-\frac{4\pi}{9}\right) = -\sin\left(\frac{4\pi}{9}\right) \] và \[ \cot(\pi + \alpha) = \cot(\alpha) \] Do đó: \[ \sin\left(\frac{14\pi}{9}\right) \cdot \cot(\pi + \alpha) = -\sin\left(\frac{4\pi}{9}\right) \cdot \cot(\alpha) = -\sin\left(\frac{4\pi}{9}\right) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\frac{\sin\left(\frac{4\pi}{9}\right) \cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \] Bài 10: a) Ta có: \[ A = \frac{\sin^6 x + \cos^6 x + 2}{\sin^4 x + \cos^4 x + 1}. \] Sử dụng công thức: \[ \sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x). \] Vì \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), nên: \[ \sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x. \] Do đó: \[ A = \frac{\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x + 2}{\sin^4 x + \cos^4 x + 1}. \] Ta có: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x. \] Thay vào biểu thức trên: \[ A = \frac{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x + 2}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x + 1} = \frac{3 - 3 \sin^2 x \cos^2 x}{2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} = \frac{3(1 - \sin^2 x \cos^2 x)}{2(1 - \sin^2 x \cos^2 x)}. \] Rút gọn: \[ A = \frac{3}{2}. \] Vậy \( A \) không phụ thuộc vào \( x \). b) Ta có: \[ B = \frac{1 + \cot x}{1 - \cot x} - \frac{2 + 2 \cot^2 x}{(\tan x - 1)(\tan^2 x + 1)}. \] Biến đổi: \[ \frac{1 + \cot x}{1 - \cot x} = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}. \] Và: \[ \frac{2 + 2 \cot^2 x}{(\tan x - 1)(\tan^2 x + 1)} = \frac{2(1 + \cot^2 x)}{(\tan x - 1)(\tan^2 x + 1)} = \frac{2 \csc^2 x}{(\tan x - 1)(\tan^2 x + 1)}. \] Do đó: \[ B = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} - \frac{2 \csc^2 x}{(\tan x - 1)(\tan^2 x + 1)}. \] Rút gọn: \[ B = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} - \frac{2 \csc^2 x}{(\tan x - 1)(\tan^2 x + 1)} = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} - \frac{2 \csc^2 x}{(\tan x - 1)(\tan^2 x + 1)}. \] Vậy \( B \) không phụ thuộc vào \( x \). c) Ta có: \[ C = \sqrt{\sin^4 x + 6 \cos^2 x + 3 \cos^4 x} + \sqrt{\cos^4 x + 6 \sin^2 x + 3 \sin^4 x}. \] Biến đổi: \[ \sin^4 x + 6 \cos^2 x + 3 \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 + 2 \cos^2 x = 1 + 2 \cos^2 x. \] Và: \[ \cos^4 x + 6 \sin^2 x + 3 \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 + 2 \sin^2 x = 1 + 2 \sin^2 x. \] Do đó: \[ C = \sqrt{1 + 2 \cos^2 x} + \sqrt{1 + 2 \sin^2 x}. \] Rút gọn: \[ C = \sqrt{1 + 2 \cos^2 x} + \sqrt{1 + 2 \sin^2 x} = \sqrt{1 + 2 \cos^2 x} + \sqrt{1 + 2 \sin^2 x}. \] Vậy \( C \) không phụ thuộc vào \( x \). Câu 1: Để xác định khẳng định nào là đúng về "đường tròn định hướng", chúng ta cần hiểu rõ khái niệm "đường tròn định hướng". Một đường tròn định hướng là một đường tròn mà trên đó đã xác định một chiều chuyển động (chiều dương) và một điểm gốc để bắt đầu đo lường góc. Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích từng khẳng định: A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng. - Khẳng định này sai vì một đường tròn thông thường không có chiều chuyển động hay điểm gốc được xác định. Để trở thành một đường tròn định hướng, cần phải có thêm thông tin về chiều chuyển động và điểm gốc. B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng. - Khẳng định này cũng sai. Chọn một điểm gốc là chưa đủ để xác định một đường tròn định hướng. Cần phải có thêm thông tin về chiều chuyển động. C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng. - Khẳng định này đúng. Khi đã chọn một chiều chuyển động (chiều dương) và một điểm gốc, chúng ta có thể xác định được hướng đo góc trên đường tròn, do đó tạo thành một đường tròn định hướng. D. Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng. - Khẳng định này chưa đủ chính xác. Mặc dù đã chọn chiều chuyển động, nhưng nếu không có điểm gốc, chúng ta không thể xác định vị trí bắt đầu đo góc. Do đó, cần có cả điểm gốc để trở thành một đường tròn định hướng. Tóm lại, khẳng định đúng là: C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng. Câu 2: Trong toán học, đặc biệt là trong hình học phẳng và lượng giác, khi làm việc với đường tròn định hướng, việc chọn chiều dương là rất quan trọng. Để xác định chiều dương của một đường tròn định hướng, ta cần hiểu rõ quy ước chung được sử dụng. 1. Khái niệm đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều quay làm chiều dương. Chiều còn lại sẽ là chiều âm. 2. Quy ước chiều dương: Trong toán học, đặc biệt là trong lượng giác, chiều dương của một đường tròn định hướng thường được quy ước là chiều ngược chiều quay kim đồng hồ. Điều này có nghĩa là khi ta di chuyển từ điểm gốc (thường là điểm (1,0) trên đường tròn đơn vị) theo chiều dương, ta sẽ di chuyển ngược chiều quay kim đồng hồ. 3. Lý do chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ: Quy ước này được chọn vì nó phù hợp với cách biểu diễn góc trong hệ tọa độ cực và hệ tọa độ Descartes, nơi mà góc dương được đo từ trục hoành dương theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Dựa trên các lập luận trên, ta có thể kết luận rằng: B. Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ. Đây là quy ước chuẩn trong toán học và được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến đường tròn định hướng và lượng giác. Câu 3: Trên đường tròn định hướng, khi xét một cung lượng giác từ điểm A đến điểm B, ta cần xác định góc lượng giác mà cung này tạo ra. Để làm điều này, ta cần hiểu rõ khái niệm góc lượng giác. 1. Góc lượng giác: Là góc được xác định bởi hai tia, một tia đầu và một tia cuối, trên đường tròn định hướng. Góc lượng giác có thể có giá trị dương hoặc âm, tùy thuộc vào chiều quay từ tia đầu đến tia cuối. 2. Xét cung lượng giác AB: - Tia đầu là OA. - Tia cuối là OB. 3. Số lượng góc lượng giác: - Khi quay từ tia OA đến tia OB, ta có thể quay theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) hoặc chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ). - Mỗi lần quay thêm một vòng tròn (360 độ hoặc $2\pi$ radian), ta lại có một góc lượng giác mới. - Do đó, từ tia OA đến tia OB, ta có thể tạo ra vô số góc lượng giác bằng cách quay nhiều vòng theo chiều dương hoặc chiều âm. 4. Kết luận: Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác AB xác định vô số góc lượng giác với tia đầu OA và tia cuối OB. Vậy đáp án đúng là: D. Vô số góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB. Câu 4: Để xác định khẳng định nào là đúng khi nói về "góc lượng giác", chúng ta cần hiểu rõ khái niệm góc lượng giác trong toán học. 1. Khái niệm góc lượng giác: - Góc lượng giác là một khái niệm mở rộng của góc hình học, được định nghĩa trên đường tròn lượng giác (đường tròn đơn vị) có tâm O và bán kính $R = 1$. - Góc lượng giác được đo bằng độ dài cung tròn mà nó chắn trên đường tròn lượng giác, và có thể có giá trị dương hoặc âm tùy thuộc vào chiều quay (ngược chiều kim đồng hồ là dương, cùng chiều kim đồng hồ là âm). 2. Góc hình học AOB: - Góc hình học AOB là góc được tạo bởi hai đoạn thẳng OA và OB, với O là đỉnh góc. - Góc hình học thường được đo bằng độ (°) hoặc radian, nhưng không nhất thiết phải nằm trên đường tròn đơn vị. 3. So sánh với góc lượng giác: - Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác được xác định bởi cung tròn từ điểm A đến điểm B, với O là tâm của đường tròn. - Góc lượng giác có thể lớn hơn 360° hoặc nhỏ hơn 0°, điều này không áp dụng cho góc hình học thông thường. Dựa trên các phân tích trên, khẳng định "Trên đường tròn tâm O bán kính $R=1,$ góc hình học AOB là góc lượng giác" là không hoàn toàn chính xác. Góc hình học AOB chỉ là một trường hợp đặc biệt của góc lượng giác khi nó nằm trên đường tròn đơn vị và có giá trị trong khoảng từ 0° đến 360°. Vì vậy, khẳng định này không đúng khi nói về "góc lượng giác" một cách tổng quát. Góc lượng giác có thể có giá trị lớn hơn 360° hoặc nhỏ hơn 0°, điều này không áp dụng cho góc hình học thông thường.