Giúp mình với ạ

Câu 1. Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 3\sqrt{n} + 1}{3n\sqrt{n} + 2n}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ để chuẩn hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 3\sqrt{n} + 1}{3n\sqrt{n} + 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{3\sqrt{n}}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{3n\sqrt{n}}{n^2} + \frac{2n}{n^2}} \] Bước 2: Rút gọn các phân số trong biểu thức: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{n^{3/2}} + \frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^{1/2}} + \frac{2}{n}} \] Bước 3: Xét giới hạn của từng thành phần khi $n \to \infty$: - $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3/2}} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{1/2}} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$ Bước 4: Thay các giới hạn vào biểu thức: \[ = \frac{2 - 0 + 0}{0 + 0} = \frac{2}{0} \] Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng biểu thức này không đúng vì mẫu số đã bị chia cho 0. Do đó, ta cần xem xét lại cách chia chuẩn hóa. Ta sẽ chia cả tử và mẫu cho $n^{3/2}$ thay vì $n^2$: Bước 5: Chia cả tử và mẫu cho $n^{3/2}$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 3\sqrt{n} + 1}{3n\sqrt{n} + 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^{3/2}} - \frac{3\sqrt{n}}{n^{3/2}} + \frac{1}{n^{3/2}}}{\frac{3n\sqrt{n}}{n^{3/2}} + \frac{2n}{n^{3/2}}} \] Bước 6: Rút gọn các phân số trong biểu thức: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{1/2} - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{3/2}}}{3 + \frac{2}{n^{1/2}}} \] Bước 7: Xét giới hạn của từng thành phần khi $n \to \infty$: - $\lim_{n \to \infty} 2n^{1/2} = \infty$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3/2}} = 0$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{1/2}} = 0$ Bước 8: Thay các giới hạn vào biểu thức: \[ = \frac{\infty - 0 + 0}{3 + 0} = \frac{\infty}{3} = \infty \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 3\sqrt{n} + 1}{3n\sqrt{n} + 2n} = \infty \] Câu 2. Để tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{\frac{n^4 - 2n^3 + 1}{2n^3 + n^2}}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức trong dấu căn bốn cho $n^4$: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{\frac{\frac{n^4 - 2n^3 + 1}{n^4}}{\frac{2n^3 + n^2}{n^4}}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{\frac{1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^4}}{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}} \] Bước 2: Tính giới hạn của các phân số trong tử và mẫu: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^4}\right) = 1 - 0 + 0 = 1 \] \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\right) = 0 + 0 = 0 \] Bước 3: Thay các giới hạn đã tìm được vào biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{\frac{1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^4}}{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}} = \sqrt[4]{\frac{1}{0}} \] Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng khi $n$ tiến đến vô cùng, phân số $\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}$ tiến đến 0, nhưng nó vẫn là một số dương rất nhỏ. Do đó, biểu thức $\frac{1}{0}$ không tồn tại, nhưng ta có thể hiểu rằng biểu thức này tiến đến vô cùng. Do đó, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{\frac{n^4 - 2n^3 + 1}{2n^3 + n^2}} = \infty \] Đáp số: $\infty$. Câu 3. Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{4^{3n} - 5^n}{2^{2n} + 3 \cdot 5^{2n}}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thành phần trong biểu thức: - Biểu thức tử số: $4^{3n} - 5^n$ - Biểu thức mẫu số: $2^{2n} + 3 \cdot 5^{2n}$ Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số cho $5^{2n}$ để dễ dàng nhận biết các giới hạn khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{4^{3n} - 5^n}{2^{2n} + 3 \cdot 5^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4^{3n}}{5^{2n}} - \frac{5^n}{5^{2n}}}{\frac{2^{2n}}{5^{2n}} + \frac{3 \cdot 5^{2n}}{5^{2n}}} \] Bước 3: Tính các giới hạn của từng thành phần: - $\frac{4^{3n}}{5^{2n}} = \left(\frac{4^3}{5^2}\right)^n = \left(\frac{64}{25}\right)^n$ - $\frac{5^n}{5^{2n}} = \frac{1}{5^n}$ - $\frac{2^{2n}}{5^{2n}} = \left(\frac{2^2}{5^2}\right)^n = \left(\frac{4}{25}\right)^n$ - $\frac{3 \cdot 5^{2n}}{5^{2n}} = 3$ Bước 4: Thay vào biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{64}{25}\right)^n - \frac{1}{5^n}}{\left(\frac{4}{25}\right)^n + 3} \] Bước 5: Xét giới hạn của từng thành phần khi $n \to \infty$: - $\left(\frac{64}{25}\right)^n \to \infty$ vì $\frac{64}{25} > 1$ - $\frac{1}{5^n} \to 0$ vì $5^n \to \infty$ - $\left(\frac{4}{25}\right)^n \to 0$ vì $\frac{4}{25} < 1$ Bước 6: Kết luận: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{64}{25}\right)^n - \frac{1}{5^n}}{\left(\frac{4}{25}\right)^n + 3} = \frac{\infty - 0}{0 + 3} = \infty \] Vậy, giới hạn của biểu thức là $\infty$. Câu 5. Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - n} + \sqrt{2n^2 - n + 3})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét từng phần của biểu thức: - $\sqrt{n^2 - n}$ - $\sqrt{2n^2 - n + 3}$ Bước 2: Ta sẽ phân tích từng căn thức để dễ dàng hơn trong việc tìm giới hạn. Xét $\sqrt{n^2 - n}$: \[ \sqrt{n^2 - n} = \sqrt{n^2(1 - \frac{1}{n})} = n \sqrt{1 - \frac{1}{n}} \] Xét $\sqrt{2n^2 - n + 3}$: \[ \sqrt{2n^2 - n + 3} = \sqrt{2n^2(1 - \frac{1}{2n} + \frac{3}{2n^2})} = n \sqrt{2(1 - \frac{1}{2n} + \frac{3}{2n^2})} \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - n} + \sqrt{2n^2 - n + 3}) = \lim_{n \to \infty} \left(n \sqrt{1 - \frac{1}{n}} + n \sqrt{2(1 - \frac{1}{2n} + \frac{3}{2n^2})}\right) \] Bước 4: Tính giới hạn từng phần: \[ \lim_{n \to \infty} n \sqrt{1 - \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} n \cdot 1 = \infty \] \[ \lim_{n \to \infty} n \sqrt{2(1 - \frac{1}{2n} + \frac{3}{2n^2})} = \lim_{n \to \infty} n \cdot \sqrt{2} = \infty \] Bước 5: Kết hợp lại: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - n} + \sqrt{2n^2 - n + 3}) = \infty + \infty = \infty \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - n} + \sqrt{2n^2 - n + 3}) = \infty \] Câu 6. Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 2n - 2} - n)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 2n - 2} - n) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(\sqrt{n^2 + 2n - 2} - n)(\sqrt{n^2 + 2n - 2} + n)}{\sqrt{n^2 + 2n - 2} + n} \right) \] Bước 2: Tính tử số: \[ (\sqrt{n^2 + 2n - 2} - n)(\sqrt{n^2 + 2n - 2} + n) = (n^2 + 2n - 2) - n^2 = 2n - 2 \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n - 2}{\sqrt{n^2 + 2n - 2} + n} \right) \] Bước 4: Chia cả tử số và mẫu số cho \( n \): \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2 - \frac{2}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{2}{n^2}} + 1} \right) \] Bước 5: Tính giới hạn khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2 - \frac{2}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{2}{n^2}} + 1} \right) = \frac{2 - 0}{\sqrt{1 + 0 - 0} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 2n - 2} - n) = 1 \] Câu 7. Để tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{3n^2 + n + 2} - \sqrt{3n^2 + n + 1})$, ta sẽ nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức. Bước 1: Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{3n^2 + n + 2} - \sqrt{3n^2 + n + 1}) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(\sqrt{3n^2 + n + 2} - \sqrt{3n^2 + n + 1})(\sqrt{3n^2 + n + 2} + \sqrt{3n^2 + n + 1})}{\sqrt{3n^2 + n + 2} + \sqrt{3n^2 + n + 1}} \right) \] Bước 2: Tính tử số: \[ (\sqrt{3n^2 + n + 2} - \sqrt{3n^2 + n + 1})(\sqrt{3n^2 + n + 2} + \sqrt{3n^2 + n + 1}) = (3n^2 + n + 2) - (3n^2 + n + 1) = 1 \] Bước 3: Thay vào biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{3n^2 + n + 2} + \sqrt{3n^2 + n + 1}} \right) \] Bước 4: Xét giới hạn của mẫu số: \[ \sqrt{3n^2 + n + 2} + \sqrt{3n^2 + n + 1} \] Khi \( n \to \infty \), ta có: \[ \sqrt{3n^2 + n + 2} \approx \sqrt{3n^2} = n\sqrt{3} \] \[ \sqrt{3n^2 + n + 1} \approx \sqrt{3n^2} = n\sqrt{3} \] Do đó: \[ \sqrt{3n^2 + n + 2} + \sqrt{3n^2 + n + 1} \approx n\sqrt{3} + n\sqrt{3} = 2n\sqrt{3} \] Bước 5: Thay vào biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2n\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot 0 = 0 \] Vậy: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{3n^2 + n + 2} - \sqrt{3n^2 + n + 1}) = 0 \]