đọc và trả lời

Câu 40. Trọng tâm của hình chóp SABC là trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh S với trọng tâm của đáy ABC. Bước 1: Tìm tọa độ trọng tâm của đáy ABC. Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ: \[ G_{ABC} = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Thay tọa độ của các điểm A, B, C vào công thức trên: \[ G_{ABC} = \left( \frac{2 + 1 + 1}{3}, \frac{2 + 3 + 2}{3}, \frac{3 + 3 + 4}{3} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{10}{3} \right) \] Bước 2: Tìm tọa độ trọng tâm G của hình chóp SABC. Trọng tâm của hình chóp SABC là trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh S với trọng tâm của đáy ABC: \[ G = \left( \frac{x_S + x_{G_{ABC}}}{2}, \frac{y_S + y_{G_{ABC}}}{2}, \frac{z_S + z_{G_{ABC}}}{2} \right) \] Thay tọa độ của điểm S và trọng tâm của đáy ABC vào công thức trên: \[ G = \left( \frac{1 + \frac{4}{3}}{2}, \frac{2 + \frac{7}{3}}{2}, \frac{3 + \frac{10}{3}}{2} \right) = \left( \frac{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}{2}, \frac{\frac{6}{3} + \frac{7}{3}}{2}, \frac{\frac{9}{3} + \frac{10}{3}}{2} \right) = \left( \frac{\frac{7}{3}}{2}, \frac{\frac{13}{3}}{2}, \frac{\frac{19}{3}}{2} \right) = \left( \frac{7}{6}, \frac{13}{6}, \frac{19}{6} \right) \] Tuy nhiên, ta thấy rằng đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho là: \[ G = \left( \frac{5}{4}, \frac{9}{4}, \frac{13}{4} \right) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D. \left( \frac{5}{4}, \frac{9}{4}, \frac{13}{4} \right) \] Câu 41. Để tìm tọa độ điểm E, ta sẽ sử dụng công thức trung điểm và tính chất của vectơ. 1. Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{CE}\) và \(\overrightarrow{EB}\): - Gọi tọa độ của điểm E là \(E(x; y; z)\). 2. Tính vectơ \(\overrightarrow{CE}\): \[ \overrightarrow{CE} = (x - 7, y - 4, z + 2) \] 3. Tính vectơ \(\overrightarrow{EB}\): \[ \overrightarrow{EB} = (1 - x, 2 - y, -3 - z) \] 4. Áp dụng điều kiện \(\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EB}\): \[ (x - 7, y - 4, z + 2) = 2(1 - x, 2 - y, -3 - z) \] Ta có: \[ x - 7 = 2(1 - x) \\ y - 4 = 2(2 - y) \\ z + 2 = 2(-3 - z) \] 5. Giải các phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \[ x - 7 = 2 - 2x \\ 3x = 9 \\ x = 3 \] - Từ phương trình thứ hai: \[ y - 4 = 4 - 2y \\ 3y = 8 \\ y = \frac{8}{3} \] - Từ phương trình thứ ba: \[ z + 2 = -6 - 2z \\ 3z = -8 \\ z = -\frac{8}{3} \] 6. Kết luận: Tọa độ của điểm E là \((3, \frac{8}{3}, -\frac{8}{3})\). Do đó, đáp án đúng là: A. \((3, \frac{8}{3}, -\frac{8}{3})\) Câu 42. Để tìm tọa độ điểm M thuộc đoạn AB sao cho \( MA = 2MB \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 3, -3 - 1, 5 + 2) = (-1, -4, 7) \] 2. Tìm tỉ số \(\frac{AM}{AB}\): Vì \( MA = 2MB \), ta có \( AM = 2MB \). Do đó, \( AM = \frac{2}{3}AB \). 3. Tìm tọa độ điểm M: Ta sử dụng công thức tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số \( k \): \[ M = A + k \cdot \overrightarrow{AB} \] Trong đó, \( k = \frac{2}{3} \). Thay vào công thức: \[ M = (3, 1, -2) + \frac{2}{3} \cdot (-1, -4, 7) \] Tính từng thành phần: \[ M_x = 3 + \frac{2}{3} \cdot (-1) = 3 - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \] \[ M_y = 1 + \frac{2}{3} \cdot (-4) = 1 - \frac{8}{3} = \frac{3}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3} \] \[ M_z = -2 + \frac{2}{3} \cdot 7 = -2 + \frac{14}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{14}{3} = \frac{8}{3} \] Vậy tọa độ điểm M là: \[ M \left( \frac{7}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{8}{3} \right) \] Đáp án đúng là: A. \(\left( \frac{7}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{8}{3} \right)\). Câu 43. Để tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, -1-3, 5+1) = (2, -4, 6) \] 2. Tìm vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BM}$: Giả sử tọa độ của điểm M là $(x, y, z)$, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x-1, y-3, z+1) \] \[ \overrightarrow{BM} = M - B = (x-3, y+1, z-5) \] 3. Áp dụng điều kiện $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}$: \[ (x-1, y-3, z+1) = 3(x-3, y+1, z-5) \] Ta có hệ phương trình: \[ x - 1 = 3(x - 3) \implies x - 1 = 3x - 9 \implies -2x = -8 \implies x = 4 \] \[ y - 3 = 3(y + 1) \implies y - 3 = 3y + 3 \implies -2y = 6 \implies y = -3 \] \[ z + 1 = 3(z - 5) \implies z + 1 = 3z - 15 \implies -2z = -16 \implies z = 8 \] 4. Kết luận: Tọa độ của điểm M là $(4, -3, 8)$. Vậy đáp án đúng là: D. $M(4, -3, 8)$. Câu 44. Để tìm tọa độ điểm \( M \) thỏa mãn đẳng thức \( \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 4, -1 - 2, 4 - 1) = (-6, -3, 3) \] 2. Tìm tọa độ điểm \( M \): Gọi \( M(x, y, z) \). Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = (x - 4, y - 2, z - 1) \] \[ \overrightarrow{MB} = (-2 - x, -1 - y, 4 - z) \] Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \] Điều này dẫn đến: \[ (x - 4, y - 2, z - 1) = 2(-2 - x, -1 - y, 4 - z) \] Ta giải từng thành phần: \[ x - 4 = 2(-2 - x) \implies x - 4 = -4 - 2x \implies 3x = 0 \implies x = 0 \] \[ y - 2 = 2(-1 - y) \implies y - 2 = -2 - 2y \implies 3y = 0 \implies y = 0 \] \[ z - 1 = 2(4 - z) \implies z - 1 = 8 - 2z \implies 3z = 9 \implies z = 3 \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( (0, 0, 3) \). Đáp án đúng là: A. \( M(0;0;3) \). Câu 45. Để tìm tọa độ điểm \( D \) trên trục hoành sao cho \( AD = BC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách \( BC \): - Tọa độ của \( B \) là \( (-1, 1, 3) \). - Tọa độ của \( C \) là \( (3, 1, 0) \). Khoảng cách \( BC \) được tính bằng công thức: \[ BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của \( B \) và \( C \): \[ BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{4^2 + 0 + 9} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 2. Tìm tọa độ điểm \( D \) trên trục hoành: - Điểm \( D \) nằm trên trục hoành nên tọa độ của \( D \) có dạng \( (x, 0, 0) \). 3. Tính khoảng cách \( AD \): - Tọa độ của \( A \) là \( (3, -4, 0) \). - Tọa độ của \( D \) là \( (x, 0, 0) \). Khoảng cách \( AD \) được tính bằng công thức: \[ AD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của \( A \) và \( D \): \[ AD = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 4^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 16} \] 4. Đặt điều kiện \( AD = BC \): \[ \sqrt{(x - 3)^2 + 16} = 5 \] 5. Giải phương trình: \[ (x - 3)^2 + 16 = 25 \] \[ (x - 3)^2 = 9 \] \[ x - 3 = \pm 3 \] Ta có hai trường hợp: - \( x - 3 = 3 \Rightarrow x = 6 \) - \( x - 3 = -3 \Rightarrow x = 0 \) 6. Kết luận: - Tọa độ của điểm \( D \) là \( (6, 0, 0) \) hoặc \( (0, 0, 0) \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D(0;0;0),~D(6;0;0)} \] Câu 46. Để tìm tỉ số $\frac{AM}{BM}$, ta cần xác định tọa độ của điểm M, điểm giao giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(Oxz)$. 1. Phương trình đường thẳng AB: - Vector $\overrightarrow{AB} = (5 - (-2); 6 - 3; 2 - 1) = (7; 3; 1)$. - Đường thẳng AB có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = -2 + 7t \\ y = 3 + 3t \\ z = 1 + t \end{cases} \] 2. Tìm tọa độ điểm M: - Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y = 0$. - Thay $y = 0$ vào phương trình đường thẳng: \[ 3 + 3t = 0 \implies t = -1 \] - Thay $t = -1$ vào phương trình đường thẳng để tìm tọa độ của M: \[ \begin{cases} x = -2 + 7(-1) = -9 \\ y = 0 \\ z = 1 + (-1) = 0 \end{cases} \] - Vậy tọa độ của điểm M là $M(-9; 0; 0)$. 3. Tính khoảng cách AM và BM: - Khoảng cách từ A đến M: \[ AM = \sqrt{(-9 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 9 + 1} = \sqrt{59} \] - Khoảng cách từ B đến M: \[ BM = \sqrt{(5 - (-9))^2 + (6 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(14)^2 + (6)^2 + (2)^2} = \sqrt{196 + 36 + 4} = \sqrt{236} = 2\sqrt{59} \] 4. Tỉ số $\frac{AM}{BM}$: \[ \frac{AM}{BM} = \frac{\sqrt{59}}{2\sqrt{59}} = \frac{1}{2} \] Vậy tỉ số $\frac{AM}{BM}$ là $\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$