1) Cho △ABC, M là trung điểm AB, vẽ MN //BC với N thuộc AC. a) Chứng minh 1 2 MN BC . b) Tia phân giác của góc A cắt BC tại I. Vẽ điểm K sao cho N là trung điểm của IK. Tứ giác AICK là hình gì? Vì sao?...

1) Cho △ABC, M là trung điểm AB, vẽ MN //BC với N thuộc AC. a) Chứng minh $\frac{1}{2}$ MN = BC. b) Tia phân giác của góc A cắt BC tại I. Vẽ điểm K sao cho N là trung điểm của IK. Tứ giác AICK là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh IB . NC = IC . MB. a) Chứng minh $\frac{1}{2}$ MN = BC. - M là trung điểm của AB nên AM = MB. - MN // BC nên theo định lý Ta-lét, ta có: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \] - Vì AM = MB, nên: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{1}{2} \] - Do đó: \[ \frac{MN}{BC} = \frac{1}{2} \implies MN = \frac{1}{2} BC \] b) Tia phân giác của góc A cắt BC tại I. Vẽ điểm K sao cho N là trung điểm của IK. Tứ giác AICK là hình gì? Vì sao? - Tia phân giác của góc A cắt BC tại I, nên AI là tia phân giác của góc BAC. - N là trung điểm của IK, nên IN = NK. - Ta có: \[ \frac{AN}{NC} = \frac{AI}{IB} \] - Vì N là trung điểm của IK, nên: \[ \frac{AN}{NC} = \frac{IN}{NK} = 1 \] - Do đó: \[ \frac{AI}{IB} = 1 \implies AI = IB \] - Vậy tứ giác AICK là hình thang cân vì AI = IB và AK = CK (do N là trung điểm của IK). c) Chứng minh IB . NC = IC . MB. - Ta có: \[ \frac{IB}{IC} = \frac{MB}{NC} \] - Vì N là trung điểm của IK, nên: \[ \frac{IB}{IC} = \frac{MB}{NC} \] - Nhân cả hai vế với IB và NC, ta được: \[ IB . NC = IC . MB \] 2) Cho tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC sao cho BC = 4CM. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho $\frac{CN}{AN} = \frac{1}{3}$. Chứng minh MN song song với AB. - Ta có: \[ \frac{CN}{AN} = \frac{1}{3} \implies AN = 3CN \] - Vì BC = 4CM, nên: \[ BM = 3CM \] - Ta có: \[ \frac{BM}{MC} = \frac{3CM}{CM} = 3 \] - Theo định lý Ta-lét, ta có: \[ \frac{BM}{MC} = \frac{AN}{NC} = 3 \] - Do đó: \[ MN // AB \] Đáp số: 1) a) Chứng minh $\frac{1}{2}$ MN = BC. b) Tứ giác AICK là hình thang cân. c) Chứng minh IB . NC = IC . MB. 2) Chứng minh MN song song với AB.