Phần I, câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Trước tiên, ta cần hiểu rằng phép toán vector trong không gian bao gồm việc cộng các vector theo quy tắc hình học hoặc đại số. Ta sẽ thực hiện phép cộng các vector theo quy tắc đại số. Bước 1: Xác định các vector cần cộng. - Vector $$ là vector từ điểm C đến điểm B. - Vector $$ là vector từ điểm C đến điểm D. - Vector $$ là vector từ điểm C đến điểm G. Bước 2: Viết lại phép toán. A. $$ B. $$ Bước 3: Xác định vị trí của các điểm trong hình lập phương. - Điểm C là đỉnh chung của các cạnh CB, CD và CG. - Điểm E là đỉnh đối diện với điểm C trên mặt phẳng (ABFE). Bước 4: Thực hiện phép cộng các vector. - Vector $$ hướng từ C đến B. - Vector $$ hướng từ C đến D. - Vector $$ hướng từ C đến G. Khi cộng các vector này, ta nhận thấy rằng: - Vector $$ và $$ nằm trên cùng một mặt phẳng (BCD). - Vector $$ là vector thẳng đứng từ C lên G. Do đó, khi cộng ba vector này, ta sẽ nhận được vector $$, vì E là đỉnh đối diện với C trên mặt phẳng (ABFE). Vậy: $$ Kết luận: $$ Đáp số: $$ Câu 2. Trước tiên, chúng ta sẽ xác định các vectơ trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' để tìm ra mệnh đề đúng. A. $$ - $$ là vectơ từ đỉnh A lên đỉnh A'. - $$ là vectơ từ đỉnh A sang đỉnh D. - Tuy nhiên, $$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C', không thể chỉ bằng tổng của $$ và $$. B. $$ - $$ là vectơ từ đỉnh A lên đỉnh A'. - $$ là vectơ từ đỉnh A sang đỉnh B. - Tuy nhiên, $$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C', không thể chỉ bằng tổng của $$ và $$. C. $$ - $$ là vectơ từ đỉnh A sang đỉnh B. - $$ là vectơ từ đỉnh A sang đỉnh D. - Tuy nhiên, $$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C', không thể chỉ bằng tổng của $$ và $$. D. $$ - $$ là vectơ từ đỉnh A lên đỉnh A'. - $$ là vectơ từ đỉnh A sang đỉnh D. - $$ là vectơ từ đỉnh A sang đỉnh B. - Tổng của ba vectơ này chính là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C'. Do đó, mệnh đề đúng là: D. $$. Câu 3. Trước tiên, ta cần hiểu về trọng tâm của một tứ diện. Trọng tâm G của tứ diện ABCD là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 3:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đáy. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $$ Điều này không đúng vì trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 3:1, không phải 2:1. B. $$ Điều này cũng không đúng vì trọng tâm G không chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 1:3. C. $$ Điều này đúng vì trọng tâm G của tứ diện ABCD là điểm chia đều các vectơ từ gốc O đến các đỉnh của tứ diện. D. $$ Điều này đúng vì tổng các vectơ từ trọng tâm G đến các đỉnh của tứ diện bằng vectơ null. Như vậy, mệnh đề sai là: A. $$ Vậy đáp án là: A. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ và trung điểm trong hình học. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan: - $$ là vectơ từ A đến B. - $$ là vectơ từ C đến D. - $$ là vectơ từ P đến Q. P là trung điểm của AB, nên: $$ Q là trung điểm của CD, nên: $$ Ta cần tìm $$. Ta có thể viết $$ dưới dạng tổng của các vectơ đã biết: $$ Do P là trung điểm của AB, nên: $$ Do Q là trung điểm của CD, nên: $$ Bây giờ, ta thay vào: $$ Ta cũng có thể viết $$ dưới dạng: $$ Nhưng để đơn giản hơn, ta có thể sử dụng trực tiếp: $$ Vậy khẳng định đúng là: $$ Đáp án: B. $$