Giải bài toán

Câu 20: Để tìm một nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2x + 3\sqrt{x} \) thỏa mãn \( F(1) = 0 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x + 3\sqrt{x}) \, dx \] Ta tách thành hai tích phân riêng biệt: \[ F(x) = \int 2x \, dx + \int 3\sqrt{x} \, dx \] 2. Tính từng tích phân: - Tích phân của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] - Tích phân của \( 3\sqrt{x} \): \[ \int 3\sqrt{x} \, dx = 3 \int x^{1/2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2x^{3/2} \] 3. Gộp lại để tìm nguyên hàm tổng quát: \[ F(x) = x^2 + 2x^{3/2} + C \] 4. Áp dụng điều kiện \( F(1) = 0 \) để tìm hằng số \( C \): \[ F(1) = 1^2 + 2 \cdot 1^{3/2} + C = 0 \] \[ 1 + 2 + C = 0 \] \[ 3 + C = 0 \] \[ C = -3 \] 5. Viết nguyên hàm cụ thể: \[ F(x) = x^2 + 2x^{3/2} - 3 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~F(x) = x^2 + 2\sqrt{x^3} - 3 \] Đáp số: \( D.~F(x) = x^2 + 2\sqrt{x^3} - 3 \)