Trả lời chi tiết

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa để tìm bán kính đáy của xô tròn có diện tích toàn phần nhỏ nhất, từ đó tiết kiệm nguyên vật liệu. Giả sử bán kính đáy của xô tròn là \( r \) (cm) và chiều cao của xô tròn là \( h \) (cm). Thể tích của xô tròn là \( V \). Thể tích của xô tròn được tính theo công thức: \[ V = \pi r^2 h \] Diện tích toàn phần của xô tròn bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh: \[ S_{\text{toàn phần}} = \pi r^2 + 2 \pi r h \] Do thể tích \( V \) là hằng số, ta có: \[ h = \frac{V}{\pi r^2} \] Thay \( h \) vào công thức diện tích toàn phần: \[ S_{\text{toàn phần}} = \pi r^2 + 2 \pi r \left( \frac{V}{\pi r^2} \right) \] \[ S_{\text{toàn phần}} = \pi r^2 + \frac{2V}{r} \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị của \( r \) sao cho \( S_{\text{toàn phần}} \) đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm điều này, ta sẽ tìm đạo hàm của \( S_{\text{toàn phần}} \) theo \( r \) và đặt nó bằng 0. Tính đạo hàm: \[ \frac{dS_{\text{toàn phần}}}{dr} = 2 \pi r - \frac{2V}{r^2} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 2 \pi r - \frac{2V}{r^2} = 0 \] \[ 2 \pi r = \frac{2V}{r^2} \] \[ \pi r^3 = V \] \[ r^3 = \frac{V}{\pi} \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}} \] Vậy bán kính đáy \( r \) của xô tròn để diện tích toàn phần nhỏ nhất (tiết kiệm nguyên vật liệu) là: \[ r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}} \] Đáp số: Bán kính đáy của xô tròn để tiết kiệm nguyên vật liệu là \( r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}} \) (cm). Câu 2: Để tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích của hộp nhận được lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hộp: - Chiều dài và chiều rộng của hộp là \( 12 - 2x \) (vì mỗi cạnh của tấm nhôm bị cắt đi hai lần mỗi cạnh của hình vuông có cạnh \( x \)). - Chiều cao của hộp là \( x \). 2. Lập biểu thức thể tích của hộp: - Thể tích \( V \) của hộp là: \[ V = (12 - 2x)(12 - 2x)x = x(12 - 2x)^2 \] 3. Tìm đạo hàm của \( V \) theo \( x \): - Đạo hàm của \( V \) là: \[ V' = (12 - 2x)^2 + x \cdot 2(12 - 2x)(-2) \] \[ V' = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) \] \[ V' = (12 - 2x)(12 - 2x - 4x) \] \[ V' = (12 - 2x)(12 - 6x) \] 4. Tìm điểm cực đại của \( V \): - Đặt \( V' = 0 \): \[ (12 - 2x)(12 - 6x) = 0 \] \[ 12 - 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 12 - 6x = 0 \] \[ x = 6 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 5. Xét điều kiện \( 0 < x < 6 \): - Vì \( x \) là cạnh của hình vuông cắt ở bốn góc, nên \( x \) phải thỏa mãn \( 0 < x < 6 \). Do đó, \( x = 6 \) bị loại vì không thỏa mãn điều kiện này. 6. Kiểm tra giá trị \( x = 2 \): - Thay \( x = 2 \) vào biểu thức thể tích: \[ V = 2(12 - 2 \cdot 2)^2 = 2(12 - 4)^2 = 2 \cdot 8^2 = 2 \cdot 64 = 128 \text{ cm}^3 \] Vậy, giá trị của \( x \) để hộp nhận được có thể tích lớn nhất là \( x = 2 \) cm.