ycycy ycyccccttc

Câu 1. Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 3t^2) = -3t^2 + 6t \] 2. Tìm giá trị cực đại của vận tốc tức thời trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây: Để tìm giá trị cực đại của \( v(t) \), ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 6t) = -6t + 6 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 6 = 0 \implies t = 1 \] 3. Kiểm tra các giá trị biên và giá trị cực trị: Ta kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại các điểm \( t = 0 \), \( t = 1 \), và \( t = 5 \): \[ v(0) = -3(0)^2 + 6(0) = 0 \] \[ v(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 \] \[ v(5) = -3(5)^2 + 6(5) = -3(25) + 30 = -75 + 30 = -45 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: Các giá trị của \( v(t) \) tại các điểm đã kiểm tra là: \[ v(0) = 0, \quad v(1) = 3, \quad v(5) = -45 \] Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 3. Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là 3 m/s, đạt được khi \( t = 1 \) giây. Đáp số: 3 m/s. Câu 2. Để tìm mức sản xuất mang lại lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( P(x) = -x^3 + 450x^2 + 52500x \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( P(x) \): \[ P'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 450x^2 + 52500x) = -3x^2 + 900x + 52500 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( P'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 900x + 52500 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ x^2 - 300x - 17500 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai \( x^2 - 300x - 17500 = 0 \): Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -300 \), \( c = -17500 \): \[ x = \frac{300 \pm \sqrt{(-300)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17500)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{300 \pm \sqrt{90000 + 70000}}{2} \] \[ x = \frac{300 \pm \sqrt{160000}}{2} \] \[ x = \frac{300 \pm 400}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{300 + 400}{2} = 350 \] \[ x_2 = \frac{300 - 400}{2} = -50 \] Bước 4: Xác định điều kiện thực tế: - \( x \geq 0 \) vì số lượng sản phẩm không thể âm. - Do đó, chỉ có nghiệm \( x = 350 \) là hợp lý. Bước 5: Kiểm tra tính chất cực đại của \( x = 350 \): Tính đạo hàm thứ hai của \( P(x) \): \[ P''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 900x + 52500) = -6x + 900 \] Đánh giá đạo hàm thứ hai tại \( x = 350 \): \[ P''(350) = -6 \cdot 350 + 900 = -2100 + 900 = -1200 \] Vì \( P''(350) < 0 \), hàm số \( P(x) \) đạt cực đại tại \( x = 350 \). Kết luận: Mức sản xuất mang lại lợi nhuận lớn nhất là 350 đơn vị sản phẩm. Câu 3. Để xác định độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm A và B: - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0). - Điểm B có tọa độ (13, 6, 5). 2. Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] 3. Thay tọa độ của điểm A và B vào công thức: \[ d(A, B) = \sqrt{(13 - 0)^2 + (6 - 0)^2 + (5 - 0)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{13^2 + 6^2 + 5^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{169 + 36 + 25} \] \[ d(A, B) = \sqrt{230} \] 4. Làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân: \[ d(A, B) \approx 15.2 \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là 15.2 mét. Câu 4. Để tính tốc độ của máy bay B, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tốc độ của máy bay A: - Vectơ vận tốc của máy bay A là $\overrightarrow{a} = (300, 200, 400)$. - Tốc độ của máy bay A là: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{300^2 + 200^2 + 400^2} \] \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{90000 + 40000 + 160000} \] \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{290000} \] \[ |\overrightarrow{a}| \approx 538.52 \text{ km/h} \] 2. Tính tốc độ của máy bay B: - Máy bay B có tốc độ gấp 2 lần tốc độ của máy bay A. - Tốc độ của máy bay B là: \[ v_B = 2 \times 538.52 \approx 1077.04 \text{ km/h} \] 3. Làm tròn đến phần nguyên: - Tốc độ của máy bay B làm tròn đến phần nguyên là 1077 km/h. Đáp số: Tốc độ của máy bay B là 1077 km/h. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B. 2. Tìm vận tốc của máy bay. 3. Xác định tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo. 4. Tính tổng tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo. Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B. Khoảng cách giữa hai điểm A(800; 500; 7) và B(940; 550; 8) là: \[ AB = \sqrt{(940 - 800)^2 + (550 - 500)^2 + (8 - 7)^2} \] \[ AB = \sqrt{140^2 + 50^2 + 1^2} \] \[ AB = \sqrt{19600 + 2500 + 1} \] \[ AB = \sqrt{22101} \] Bước 2: Tìm vận tốc của máy bay. Máy bay di chuyển từ điểm A đến điểm B trong 10 phút, tức là 1/6 giờ. Vận tốc của máy bay là: \[ v = \frac{AB}{\frac{1}{6}} = 6 \times \sqrt{22101} \] Bước 3: Xác định tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo. Sau 10 phút tiếp theo, máy bay sẽ di chuyển thêm một đoạn đường bằng khoảng cách AB. Do đó, tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo sẽ là: \[ D(x, y, z) = B + (B - A) \] \[ D(x, y, z) = (940, 550, 8) + (140, 50, 1) \] \[ D(x, y, z) = (940 + 140, 550 + 50, 8 + 1) \] \[ D(x, y, z) = (1080, 600, 9) \] Bước 4: Tính tổng tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo. Tổng tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là: \[ x + y + z = 1080 + 600 + 9 = 1689 \] Vậy, tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là \( D(1080, 600, 9) \) và \( x + y + z = 1689 \). Đáp số: 1689. Câu 6. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trọng số trung tâm của mỗi khoảng. - Nhân trọng số trung tâm với số lượng học sinh tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị đã nhân và chia cho tổng số học sinh. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương hiệu giữa mỗi trọng số trung tâm và trung bình cộng. - Nhân bình phương này với số lượng học sinh tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị đã nhân và chia cho tổng số học sinh. Bước 1: Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu Trọng số trung tâm của mỗi khoảng: - [20;30): $\frac{20 + 30}{2} = 25$ - [30;40): $\frac{30 + 40}{2} = 35$ - [40;50): $\frac{40 + 50}{2} = 45$ - [50;60): $\frac{50 + 60}{2} = 55$ - [60;70): $\frac{60 + 70}{2} = 65$ - [70;80): $\frac{70 + 80}{2} = 75$ - [80;90): $\frac{80 + 90}{2} = 85$ - [90;100): $\frac{90 + 100}{2} = 95$ Nhân trọng số trung tâm với số lượng học sinh tương ứng: \[ 25 \times 3 = 75 \\ 35 \times 5 = 175 \\ 45 \times 5 = 225 \\ 55 \times 8 = 440 \\ 65 \times 7 = 455 \\ 75 \times 5 = 375 \\ 85 \times 3 = 255 \\ 95 \times 4 = 380 \] Cộng tất cả các giá trị đã nhân: \[ 75 + 175 + 225 + 440 + 455 + 375 + 255 + 380 = 2385 \] Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{2385}{40} = 59.625 \] Bước 2: Tính phương sai Tính bình phương hiệu giữa mỗi trọng số trung tâm và trung bình cộng: \[ (25 - 59.625)^2 = (-34.625)^2 = 1198.484375 \\ (35 - 59.625)^2 = (-24.625)^2 = 606.40625 \\ (45 - 59.625)^2 = (-14.625)^2 = 213.90625 \\ (55 - 59.625)^2 = (-4.625)^2 = 21.390625 \\ (65 - 59.625)^2 = (5.375)^2 = 28.890625 \\ (75 - 59.625)^2 = (15.375)^2 = 236.40625 \\ (85 - 59.625)^2 = (25.375)^2 = 643.828125 \\ (95 - 59.625)^2 = (35.375)^2 = 1251.40625 \] Nhân bình phương này với số lượng học sinh tương ứng: \[ 1198.484375 \times 3 = 3595.453125 \\ 606.40625 \times 5 = 3032.03125 \\ 213.90625 \times 5 = 1069.53125 \\ 21.390625 \times 8 = 171.125 \\ 28.890625 \times 7 = 202.234375 \\ 236.40625 \times 5 = 1182.03125 \\ 643.828125 \times 3 = 1931.484375 \\ 1251.40625 \times 4 = 5005.625 \] Cộng tất cả các giá trị đã nhân: \[ 3595.453125 + 3032.03125 + 1069.53125 + 171.125 + 202.234375 + 1182.03125 + 1931.484375 + 5005.625 = 15189.515625 \] Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{15189.515625}{40} = 379.737890625 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ \boxed{379.737890625} \] Câu 7. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu: - Xác định các khoảng và trung điểm của mỗi khoảng: - [0; 20): Trung điểm là 10 - [20; 40): Trung điểm là 30 - [40; 60): Trung điểm là 50 - [60; 80): Trung điểm là 70 - [80; 100): Trung điểm là 90 - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(10 \times 5) + (30 \times 5) + (50 \times 6) + (70 \times 2) + (90 \times 2)}{20} \] \[ \bar{x} = \frac{50 + 150 + 300 + 140 + 180}{20} = \frac{820}{20} = 41 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trung điểm và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ s^2 = \frac{(10-41)^2 \times 5 + (30-41)^2 \times 5 + (50-41)^2 \times 6 + (70-41)^2 \times 2 + (90-41)^2 \times 2}{20} \] \[ s^2 = \frac{(-31)^2 \times 5 + (-11)^2 \times 5 + 9^2 \times 6 + 29^2 \times 2 + 49^2 \times 2}{20} \] \[ s^2 = \frac{961 \times 5 + 121 \times 5 + 81 \times 6 + 841 \times 2 + 2401 \times 2}{20} \] \[ s^2 = \frac{4805 + 605 + 486 + 1682 + 4802}{20} = \frac{12380}{20} = 619 \] 3. Tính độ lệch chuẩn: - Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{619} \approx 24.88 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 24.88 triệu đô la.