Giau bai tap

Câu 1. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \[ R = 90 - 10 = 80 \text{ (tuổi)} \] Do đó, mệnh đề này sai. b) Tính tần số tích lũy của mỗi nhóm: - Nhóm [10; 20): 18 - Nhóm [20; 30): 18 + 31 = 49 - Nhóm [30; 40): 49 + 40 = 89 - Nhóm [40; 50): 89 + 48 = 137 - Nhóm [50; 60): 137 + 50 = 187 - Nhóm [60; 70): 187 + 10 = 197 - Nhóm [70; 80): 197 + 2 = 199 - Nhóm [80; 90): 199 + 1 = 200 Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 50 là nhóm [30; 40). Do đó, mệnh đề này đúng. c) Để tìm $Q_5$, ta cần xác định giá trị ở vị trí thứ 50% của dữ liệu. Số lượng dữ liệu là 200, do đó vị trí của $Q_5$ là: \[ \frac{200}{4} = 50 \] Từ bảng tần số tích lũy, ta thấy nhóm chứa giá trị ở vị trí thứ 50 là nhóm [30; 40). Áp dụng công thức để tìm $Q_5$: \[ Q_5 = 30 + \left(\frac{50 - 49}{40}\right) \times 10 = 30 + \frac{1}{40} \times 10 = 30 + \frac{10}{40} = 30 + 0.25 = 30.25 \] Do đó, mệnh đề này sai vì $Q_5 = 30.25$, không phải $52\frac{17}{24}$. d) Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa $Q_1$ và $Q_3$. Ta đã biết $Q_1 = 30.25$. Bây giờ, ta tìm $Q_3$ tương tự: Vị trí của $Q_3$ là: \[ \frac{3 \times 200}{4} = 150 \] Từ bảng tần số tích lũy, ta thấy nhóm chứa giá trị ở vị trí thứ 150 là nhóm [50; 60). Áp dụng công thức để tìm $Q_3$: \[ Q_3 = 50 + \left(\frac{150 - 137}{50}\right) \times 10 = 50 + \frac{13}{50} \times 10 = 50 + 2.6 = 52.6 \] Khoảng tứ phân vị là: \[ Q_3 - Q_1 = 52.6 - 30.25 = 22.35 \] Do đó, mệnh đề này đúng vì khoảng tứ phân vị lớn hơn 20. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 2. a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $n=100$. - Đúng vì tổng tần số của tất cả các nhóm là $12 + 25 + 38 + 20 + 5 = 100$. b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 100 gam. - Đúng vì khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. Giá trị lớn nhất là 1850 gam (giá trị trên cùng của nhóm cuối cùng) và giá trị nhỏ nhất là 1750 gam (giá trị dưới cùng của nhóm đầu tiên). Do đó, khoảng biến thiên là $1850 - 1750 = 100$ gam. c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $Q_3 = 1830$. - Sai vì tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là giá trị chia mẫu số liệu thành phần dưới 75% và phần trên 25%. Để tìm $Q_3$, ta cần xác định vị trí của nó trong mẫu số liệu đã sắp xếp. Vị trí của $Q_3$ là $\frac{3}{4} \times 100 = 75$. - Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm [1810;1830) vì tần số tích lũy đến nhóm này là $12 + 25 + 38 = 75$. - Do đó, $Q_3$ nằm trong nhóm [1810;1830). Ta có thể tính $Q_3$ bằng công thức: \[ Q_3 = 1810 + \left( \frac{75 - 75}{20} \right) \times 20 = 1810 + 0 = 1810 \] - Vậy $Q_3 = 1810$, không phải 1830. d) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\Delta_Q = 29,6$. - Sai vì khoảng tử phân vị ($\Delta_Q$) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) và tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$). Ta đã biết $Q_3 = 1810$. Bây giờ, ta cần tìm $Q_1$. - Vị trí của $Q_1$ là $\frac{1}{4} \times 100 = 25$. - Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm [1770;1790) vì tần số tích lũy đến nhóm này là $12 + 25 = 37$. - Do đó, $Q_1$ nằm trong nhóm [1770;1790). Ta có thể tính $Q_1$ bằng công thức: \[ Q_1 = 1770 + \left( \frac{25 - 12}{25} \right) \times 20 = 1770 + \left( \frac{13}{25} \right) \times 20 = 1770 + 10,4 = 1780,4 \] - Vậy $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 1810 - 1780,4 = 29,6$. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Đúng. - Mệnh đề c) Sai. - Mệnh đề d) Đúng. Câu 3. Để xác định tính đúng, sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng biến thiên của mẫu số liệu. 2. Xác định khoảng tử phân vị của mẫu số liệu. 3. Tính phương sai của mẫu số liệu. 4. Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu. Bước 1: Xác định khoảng biến thiên của mẫu số liệu Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu. Giá trị lớn nhất: 2,75 Giá trị nhỏ nhất: 0,75 Khoảng biến thiên = 2,75 - 0,75 = 2,00 Vậy mệnh đề a) là sai vì khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 2,00, không phải 2,5. Bước 2: Xác định khoảng tử phân vị của mẫu số liệu Khoảng tử phân vị là khoảng giữa hai phân vị thứ 3 và thứ 1 (Q3 - Q1). Phân vị thứ 1 (Q1) là giá trị ở vị trí 25% của dữ liệu. Phân vị thứ 3 (Q3) là giá trị ở vị trí 75% của dữ liệu. Tổng số lượng học sinh bị cận mắt: 87 học sinh Vị trí của Q1: 87 0,25 = 21,75 ≈ 22 (vị trí) Vị trí của Q3: 87 0,75 = 65,25 ≈ 65 (vị trí) Dựa vào bảng phân bố tần số, ta thấy: - Q1 nằm trong khoảng [0,75; 1,25) - Q3 nằm trong khoảng [1,25; 1,75) Ta có thể ước lượng Q1 và Q3 bằng cách sử dụng phương pháp nội suy tuyến tính. Q1 ≈ 0,75 + (1,25 - 0,75) (22 - 25) / (32 - 25) = 0,75 + 0,5 (-3) / 7 = 0,75 - 0,2143 = 0,5357 Q3 ≈ 1,25 + (1,75 - 1,25) (65 - 59) / (14 - 59) = 1,25 + 0,5 6 / 14 = 1,25 + 0,2143 = 1,4643 Khoảng tử phân vị = Q3 - Q1 = 1,4643 - 0,5357 = 0,9286 Vậy mệnh đề b) là sai vì khoảng tử phân vị của mẫu số liệu là 0,9286, không lớn hơn 1. Bước 3: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai (s^2) được tính bằng công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của mỗi nhóm - \( x_i \) là giá trị trung tâm của mỗi nhóm - \( \bar{x} \) là giá trị trung bình của mẫu số liệu - \( n \) là tổng số lượng học sinh bị cận mắt Giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - [0,75; 1,25): 1,00 - [1,25; 1,75): 1,50 - [1,75; 2,25): 2,00 - [2,25; 2,75): 2,50 Tính giá trị trung bình (\( \bar{x} \)): \[ \bar{x} = \frac{(25 \times 1,00) + (32 \times 1,50) + (14 \times 2,00) + (12 \times 2,50) + (4 \times 2,75)}{87} \] \[ \bar{x} = \frac{25 + 48 + 28 + 30 + 11}{87} \] \[ \bar{x} = \frac{142}{87} \approx 1,6322 \] Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(25 \times (1,00 - 1,6322)^2) + (32 \times (1,50 - 1,6322)^2) + (14 \times (2,00 - 1,6322)^2) + (12 \times (2,50 - 1,6322)^2) + (4 \times (2,75 - 1,6322)^2)}{86} \] \[ s^2 = \frac{(25 \times 0,3998) + (32 \times 0,0174) + (14 \times 0,1339) + (12 \times 0,7398) + (4 \times 1,2538)}{86} \] \[ s^2 = \frac{9,995 + 0,5568 + 1,8746 + 8,8776 + 5,0152}{86} \] \[ s^2 = \frac{26,32}{86} \approx 0,3061 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu là 0,3061, nhỏ hơn 0,4. Vậy mệnh đề c) là sai vì phương sai của mẫu số liệu là 0,3061, không lớn hơn 0,4. Bước 4: Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu Độ lệch chuẩn (s) được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,3061} \approx 0,5533 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 0,5533, lớn hơn 0,5. Vậy mệnh đề d) là sai vì độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 0,5533, không bé hơn 0,5. Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai.