Thực hiện các phép cộng , trừ phân thức sau

1) $\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a+3}$ Để thực hiện phép trừ này, ta cần quy đồng mẫu số chung của hai phân thức. Mẫu số chung của $(a-3)$ và $(a+3)$ là $(a-3)(a+3)$. Ta có: \[ \frac{a}{a-3} = \frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 + 3a}{(a-3)(a+3)} \] \[ \frac{3}{a+3} = \frac{3(a-3)}{(a+3)(a-3)} = \frac{3a - 9}{(a+3)(a-3)} \] Bây giờ, ta thực hiện phép trừ: \[ \frac{a^2 + 3a}{(a-3)(a+3)} - \frac{3a - 9}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 + 3a - (3a - 9)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 + 3a - 3a + 9}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 + 9}{(a-3)(a+3)} \] Vậy: \[ \frac{a}{a-3} - \frac{3}{a+3} = \frac{a^2 + 9}{(a-3)(a+3)} \] 2) $\frac{1}{2x} + \frac{3}{x^2}$ Mẫu số chung của $2x$ và $x^2$ là $2x^2$. Ta có: \[ \frac{1}{2x} = \frac{x}{2x^2} \] \[ \frac{3}{x^2} = \frac{6}{2x^2} \] Bây giờ, ta thực hiện phép cộng: \[ \frac{x}{2x^2} + \frac{6}{2x^2} = \frac{x + 6}{2x^2} \] Vậy: \[ \frac{1}{2x} + \frac{3}{x^2} = \frac{x + 6}{2x^2} \] 3) $\frac{5}{x^2-1} - \frac{2}{x^2+x}$ Ta nhận thấy rằng $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ và $x^2 + x = x(x+1)$. Mẫu số chung của $(x-1)(x+1)$ và $x(x+1)$ là $x(x-1)(x+1)$. Ta có: \[ \frac{5}{x^2-1} = \frac{5x}{x(x-1)(x+1)} \] \[ \frac{2}{x^2+x} = \frac{2(x-1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{2x - 2}{x(x-1)(x+1)} \] Bây giờ, ta thực hiện phép trừ: \[ \frac{5x}{x(x-1)(x+1)} - \frac{2x - 2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{5x - (2x - 2)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{5x - 2x + 2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x + 2}{x(x-1)(x+1)} \] Vậy: \[ \frac{5}{x^2-1} - \frac{2}{x^2+x} = \frac{3x + 2}{x(x-1)(x+1)} \] 4) $\frac{x-2}{x(x+2)} + \frac{1}{x}$ Mẫu số chung của $x(x+2)$ và $x$ là $x(x+2)$. Ta có: \[ \frac{x-2}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x(x+2)} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{x+2}{x(x+2)} \] Bây giờ, ta thực hiện phép cộng: \[ \frac{x-2}{x(x+2)} + \frac{x+2}{x(x+2)} = \frac{(x-2) + (x+2)}{x(x+2)} = \frac{x - 2 + x + 2}{x(x+2)} = \frac{2x}{x(x+2)} = \frac{2}{x+2} \] Vậy: \[ \frac{x-2}{x(x+2)} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x+2} \] 5) $\frac{2}{x-3} - \frac{12}{x^2-9}$ Ta nhận thấy rằng $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. Mẫu số chung của $(x-3)$ và $(x-3)(x+3)$ là $(x-3)(x+3)$. Ta có: \[ \frac{2}{x-3} = \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x + 6}{(x-3)(x+3)} \] \[ \frac{12}{x^2-9} = \frac{12}{(x-3)(x+3)} \] Bây giờ, ta thực hiện phép trừ: \[ \frac{2x + 6}{(x-3)(x+3)} - \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x + 6 - 12}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x - 6}{(x-3)(x+3)} = \frac{2(x - 3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x+3} \] Vậy: \[ \frac{2}{x-3} - \frac{12}{x^2-9} = \frac{2}{x+3} \] 6) $\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x^2-4x+4}$ Ta nhận thấy rằng $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Mẫu số chung của $(x-2)$ và $(x-2)^2$ là $(x-2)^2$. Ta có: \[ \frac{1}{x-2} = \frac{x-2}{(x-2)^2} \] \[ \frac{2}{x^2-4x+4} = \frac{2}{(x-2)^2} \] Bây giờ, ta thực hiện phép cộng: \[ \frac{x-2}{(x-2)^2} + \frac{2}{(x-2)^2} = \frac{(x-2) + 2}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 + 2}{(x-2)^2} = \frac{x}{(x-2)^2} \] Vậy: \[ \frac{1}{x-2} + \frac{2}{x^2-4x+4} = \frac{x}{(x-2)^2} \]