Tuổi của 1 cây đại thụ là từ 200 đến 300 năm.Nếu bạn chia tuổi của nó cho mỗi số 3,4,5,6 thì đều có phần dư là 2.Nếu bạn chia tuồi của nó cho 11,phần dư là 0.cây đại thụ đó bao nhiêu tuổi

Question

Accepted Answer

### **Bài toán:**
Tìm số tuổi $ x $ của cây, biết:
- $ 200 \leq x \leq 300 $,
- Khi chia $ x $ cho 3, 4, 5, 6 đều dư 2,
- Khi chia $ x $ cho 11 thì chia hết ($ x \mod 11 = 0 $).

---

### **Giải:**

1. **Điều kiện chia hết với dư 2:**
- Khi chia $ x $ cho 3, 4, 5, 6 đều dư 2, nghĩa là $ x - 2 $ phải chia hết cho bội chung nhỏ nhất ($ \text{LCM} $) của 3, 4, 5, 6.
- Ta tính $ \text{LCM}(3, 4, 5, 6) $:
$$
\text{LCM}(3, 4, 5, 6) = 60
$$
- Do đó, $ x - 2 = 60k $, hay $ x = 60k + 2 $ với $ k \in \mathbb{Z} $.

2. **Điều kiện chia hết cho 11:**
- $ x $ chia hết cho 11, nên $ x = 11m $ với $ m \in \mathbb{Z} $.

3. **Kết hợp điều kiện:**
- Từ $ x = 60k + 2 $ và $ x = 11m $, ta có:
$$
60k + 2 = 11m \quad \Rightarrow \quad 60k = 11m - 2
$$
- Điều này tương đương:
$$
60k \equiv -2 \ (\text{mod} \ 11)
$$
- Chia 60 cho 11, ta có: $ 60 \equiv 5 \ (\text{mod} \ 11) $, do đó:
$$
5k \equiv -2 \ (\text{mod} \ 11)
$$
- Giải phương trình đồng dư:
$$
5k \equiv 9 \ (\text{mod} \ 11) \quad \text{(vì $-2 + 11 = 9$)}.
$$
- Nhân cả hai vế với nghịch đảo của 5 modulo 11 là 9 (vì $ 5 \cdot 9 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 11) $), ta được:
$$
k \equiv 9 \cdot 9 \ (\text{mod} \ 11) \quad \Rightarrow \quad k \equiv 81 \ (\text{mod} \ 11) \quad \Rightarrow \quad k \equiv 4 \ (\text{mod} \ 11).
$$

4. **Tính giá trị $ x $:**
- $ k = 11n + 4 $ (với $ n \in \mathbb{Z} $), nên:
$$
x = 60k + 2 = 60(11n + 4) + 2 = 660n + 242.
$$
- Vì $ 200 \leq x \leq 300 $, ta thử $ n = 0 $, được:
$$
x = 242.
$$

5. **Kiểm tra lại:**
- $ 242 \mod 3 = 2 $, $ 242 \mod 4 = 2 $, $ 242 \mod 5 = 2 $, $ 242 \mod 6 = 2 $, $ 242 \mod 11 = 0 $.
- Thỏa mãn tất cả các điều kiện.

---

### **Kết quả:**
Tuổi của cây đại thụ là **242 năm**.