Tuổi của 1 cây đại thụ là từ 200 đến 300 năm.Nếu bạn chia tuổi của nó cho mỗi số 3,4,5,6 thì đều có phần dư là 2.Nếu bạn chia tuồi của nó cho 11,phần dư là 0.cây đại thụ đó bao nhiêu tuổi

Để giải bài toán này, ta cần tìm một số nguyên \( x \) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. \( 200 \leq x \leq 300 \) 2. \( x \equiv 2 \mod 3 \) 3. \( x \equiv 2 \mod 4 \) 4. \( x \equiv 2 \mod 5 \) 5. \( x \equiv 2 \mod 6 \) 6. \( x \equiv 0 \mod 11 \) Trước tiên, từ các điều kiện \( x \equiv 2 \mod 3 \), \( x \equiv 2 \mod 4 \), \( x \equiv 2 \mod 5 \), và \( x \equiv 2 \mod 6 \), ta có thể kết hợp chúng lại thành: \[ x \equiv 2 \mod \text{lcm}(3, 4, 5, 6) \] Tính \( \text{lcm}(3, 4, 5, 6) \): - \( 3 = 3^1 \) - \( 4 = 2^2 \) - \( 5 = 5^1 \) - \( 6 = 2^1 \cdot 3^1 \) Lcm sẽ là \( 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 60 \). Vậy ta có: \[ x \equiv 2 \mod 60 \] Điều này có nghĩa là \( x = 60k + 2 \) với \( k \) là số nguyên. Tiếp theo, từ điều kiện \( x \equiv 0 \mod 11 \), ta có: \[ 60k + 2 \equiv 0 \mod 11 \] Giải phương trình này: \[ 60k + 2 \equiv 0 \mod 11 \implies 60k \equiv -2 \mod 11 \] Tính \( 60 \mod 11 \): \[ 60 \div 11 = 5 \quad \text{và} \quad 60 - 55 = 5 \implies 60 \equiv 5 \mod 11 \] Vậy ta có: \[ 5k \equiv -2 \mod 11 \implies 5k \equiv 9 \mod 11 \] Tìm nghịch đảo của 5 modulo 11. Ta có: \[ 5 \cdot 9 = 45 \equiv 1 \mod 11 \implies 5^{-1} \equiv 9 \mod 11 \] Nhân cả hai vế với 9: \[ k \equiv 9 \cdot 9 \mod 11 \implies k \equiv 81 \mod 11 \implies k \equiv 4 \mod 11 \] Vậy \( k = 11m + 4 \) với \( m \) là số nguyên. Thay vào biểu thức cho \( x \): \[ x = 60(11m + 4) + 2 = 660m + 242 \] Giờ ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho \( 200 \leq 660m + 242 \leq 300 \): 1. Từ \( 660m + 242 \geq 200 \): \[ 660m \geq -42 \implies m \geq 0 \] 2. Từ \( 660m + 242 \leq 300 \): \[ 660m \leq 58 \implies m \leq 0 \] Vậy \( m = 0 \). Thay \( m = 0 \) vào biểu thức cho \( x \): \[ x = 660 \cdot 0 + 242 = 242 \] Kiểm tra lại các điều kiện: - \( 242 \div 3 = 80 \) dư 2 - \( 242 \div 4 = 60 \) dư 2 - \( 242 \div 5 = 48 \) dư 2 - \( 242 \div 6 = 40 \) dư 2 - \( 242 \div 11 = 22 \) dư 0 Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn. Vậy tuổi của cây đại thụ đó là **242 năm**.