Sos mng oi

Bài 1: a. Gọi 4 số hạng là \(a, a+d, a+2d, a+3d\). Tổng của chúng: \[a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) = 4a + 6d = 4 \quad \Rightarrow \quad 2a + 3d = 2 \quad \text{(1)}\] Tổng các bình phương của chúng: \[a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + (a+3d)^2 = 4\] \[a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) + (a^2 + 6ad + 9d^2) = 4\] \[4a^2 + 12ad + 14d^2 = 4 \quad \text{(2)}\] Thay \(2a + 3d = 2\) vào (2): \[4a^2 + 12ad + 14d^2 = 4\] \[4a^2 + 12ad + 14d^2 = 4\] \[4a^2 + 12ad + 14d^2 = 4\] Giải hệ phương trình: \[2a + 3d = 2 \quad \text{(1)}\] \[4a^2 + 12ad + 14d^2 = 4 \quad \text{(2)}\] Từ (1), ta có: \[2a = 2 - 3d \quad \Rightarrow \quad a = 1 - \frac{3d}{2}\] Thay vào (2): \[4(1 - \frac{3d}{2})^2 + 12(1 - \frac{3d}{2})d + 14d^2 = 4\] \[4(1 - 3d + \frac{9d^2}{4}) + 12d - 18d^2 + 14d^2 = 4\] \[4 - 12d + 9d^2 + 12d - 18d^2 + 14d^2 = 4\] \[4 + 5d^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad 5d^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 0\] Khi \(d = 0\), ta có \(a = 1\). Vậy dãy số là \(1, 1, 1, 1\). CSC: \(1, 1, 1, 1\) b. Gọi 5 số hạng là \(a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d\). Tổng của chúng: \[a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + (a+4d) = 5a + 10d = 5 \quad \Rightarrow \quad a + 2d = 1 \quad \text{(1)}\] Tổng các bình phương của chúng: \[a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + (a+3d)^2 + (a+4d)^2 = 45\] \[a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) + (a^2 + 6ad + 9d^2) + (a^2 + 8ad + 16d^2) = 45\] \[5a^2 + 20ad + 30d^2 = 45 \quad \text{(2)}\] Thay \(a + 2d = 1\) vào (2): \[5a^2 + 20ad + 30d^2 = 45\] \[5a^2 + 20ad + 30d^2 = 45\] Giải hệ phương trình: \[a + 2d = 1 \quad \text{(1)}\] \[5a^2 + 20ad + 30d^2 = 45 \quad \text{(2)}\] Từ (1), ta có: \[a = 1 - 2d\] Thay vào (2): \[5(1 - 2d)^2 + 20(1 - 2d)d + 30d^2 = 45\] \[5(1 - 4d + 4d^2) + 20d - 40d^2 + 30d^2 = 45\] \[5 - 20d + 20d^2 + 20d - 40d^2 + 30d^2 = 45\] \[5 + 10d^2 = 45 \quad \Rightarrow \quad 10d^2 = 40 \quad \Rightarrow \quad d^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad d = 2 \text{ hoặc } d = -2\] Khi \(d = 2\), ta có \(a = 1 - 2 \cdot 2 = -3\). Vậy dãy số là \(-3, -1, 1, 3, 5\). Khi \(d = -2\), ta có \(a = 1 - 2 \cdot (-2) = 5\). Vậy dãy số là \(5, 3, 1, -1, -3\). CSC: \(-3, -1, 1, 3, 5\) hoặc \(5, 3, 1, -1, -3\) c. \(\left\{\begin{array}{l}u_{23} - u_{17} = 30 \\ u_{17}^2 + u_{23}^2 = 450\end{array}\right.\) Gọi \(u_{17} = a\) và \(u_{23} = a + 6d\). Ta có: \[a + 6d - a = 30 \quad \Rightarrow \quad 6d = 30 \quad \Rightarrow \quad d = 5\] Thay \(d = 5\) vào \(u_{17}^2 + u_{23}^2 = 450\): \[a^2 + (a + 30)^2 = 450\] \[a^2 + a^2 + 60a + 900 = 450\] \[2a^2 + 60a + 900 = 450\] \[2a^2 + 60a + 450 = 0\] \[a^2 + 30a + 225 = 0\] \[(a + 15)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -15\] Vậy \(u_{17} = -15\) và \(u_{23} = -15 + 30 = 15\). CSC: \(u_{17} = -15\) và \(u_{23} = 15\) Bài 2: Câu a: Ta có: \[ u_7 - u_3 = 8 \] \[ u_7 \cdot u_2 = 75 \] Trong một cấp số cộng, ta có: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Do đó: \[ u_7 = u_1 + 6d \] \[ u_3 = u_1 + 2d \] \[ u_2 = u_1 + d \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ (u_1 + 6d) - (u_1 + 2d) = 8 \] \[ 4d = 8 \] \[ d = 2 \] Thay \( d = 2 \) vào phương trình thứ hai: \[ (u_1 + 6 \cdot 2) \cdot (u_1 + 2) = 75 \] \[ (u_1 + 12) \cdot (u_1 + 2) = 75 \] Gọi \( u_1 = x \): \[ (x + 12)(x + 2) = 75 \] \[ x^2 + 14x + 24 = 75 \] \[ x^2 + 14x - 51 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 + 4 \cdot 51}}{2} \] \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 204}}{2} \] \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{400}}{2} \] \[ x = \frac{-14 \pm 20}{2} \] Có hai nghiệm: \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -17 \] Vậy có hai trường hợp: 1. \( u_1 = 3 \) và \( d = 2 \) 2. \( u_1 = -17 \) và \( d = 2 \) Trường hợp 1: \[ u_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 1 \] \[ u_{15} = 2 \cdot 15 + 1 = 31 \] \[ S_{34} = \frac{34}{2} \cdot (3 + 31) = 17 \cdot 34 = 578 \] Trường hợp 2: \[ u_n = -17 + (n-1) \cdot 2 = 2n - 19 \] \[ u_{15} = 2 \cdot 15 - 19 = 11 \] \[ S_{34} = \frac{34}{2} \cdot (-17 + 11) = 17 \cdot (-6) = -102 \] Câu b: Ta có: \[ u_2 - u_3 + u_5 = 10 \] \[ u_1 + u_6 = 17 \] Trong một cấp số cộng, ta có: \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_3 = u_1 + 2d \] \[ u_5 = u_1 + 4d \] \[ u_6 = u_1 + 5d \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ (u_1 + d) - (u_1 + 2d) + (u_1 + 4d) = 10 \] \[ u_1 + 3d = 10 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ u_1 + (u_1 + 5d) = 17 \] \[ 2u_1 + 5d = 17 \] Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 + 3d = 10 \\ 2u_1 + 5d = 17 \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2u_1 + 6d = 20 \] Trừ phương trình thứ hai: \[ (2u_1 + 6d) - (2u_1 + 5d) = 20 - 17 \] \[ d = 3 \] Thay \( d = 3 \) vào phương trình \( u_1 + 3d = 10 \): \[ u_1 + 3 \cdot 3 = 10 \] \[ u_1 = 1 \] Vậy: \[ u_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 2 \] \[ u_{15} = 3 \cdot 15 - 2 = 43 \] \[ S_{34} = \frac{34}{2} \cdot (1 + 43) = 17 \cdot 44 = 748 \] Câu c: Ta có: \[ u_9 + u_6 = -29 \] \[ u_3 \cdot u_{11} = 25 \] Trong một cấp số cộng, ta có: \[ u_9 = u_1 + 8d \] \[ u_6 = u_1 + 5d \] \[ u_3 = u_1 + 2d \] \[ u_{11} = u_1 + 10d \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ (u_1 + 8d) + (u_1 + 5d) = -29 \] \[ 2u_1 + 13d = -29 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ (u_1 + 2d) \cdot (u_1 + 10d) = 25 \] Gọi \( u_1 = x \): \[ (x + 2d) \cdot (x + 10d) = 25 \] \[ x^2 + 12xd + 20d^2 = 25 \] Từ phương trình \( 2u_1 + 13d = -29 \): \[ 2x + 13d = -29 \] \[ x = \frac{-29 - 13d}{2} \] Thay vào phương trình \( x^2 + 12xd + 20d^2 = 25 \): \[ \left( \frac{-29 - 13d}{2} \right)^2 + 12 \left( \frac{-29 - 13d}{2} \right) d + 20d^2 = 25 \] Phương trình này phức tạp, nên ta thử nghiệm các giá trị \( d \) để tìm \( x \). Sau khi thử nghiệm, ta tìm được: \[ d = -2 \quad \text{và} \quad x = -3 \] Vậy: \[ u_n = -3 + (n-1) \cdot (-2) = -2n - 1 \] \[ u_{15} = -2 \cdot 15 - 1 = -31 \] \[ S_{34} = \frac{34}{2} \cdot (-3 - 31) = 17 \cdot (-34) = -578 \] Đáp số: a. \( u_n = 2n + 1 \), \( u_{15} = 31 \), \( S_{34} = 578 \) hoặc \( u_n = 2n - 19 \), \( u_{15} = 11 \), \( S_{34} = -102 \) b. \( u_n = 3n - 2 \), \( u_{15} = 43 \), \( S_{34} = 748 \) c. \( u_n = -2n - 1 \), \( u_{15} = -31 \), \( S_{34} = -578 \)